Брум-Бридж: кватернионы, нацарапанные на камне

Задача

К 1830-м годам комплексные числа получили ясный смысл. Уильям Роуэн Гамильтон (1805–1865), королевский астроном Ирландии, в 1837 году дал им строгое определение как пар вещественных чисел с правилом умножения

$$(a,b)\cdot(c,d) = (ac-bd,\;ad+bc).$$

Это снимало всякую мистику: никаких «мнимых» сущностей, просто пары с необычным умножением.

Комплексные числа замечательно описывают геометрию плоскости: умножение на $re^{i\varphi}$ есть поворот на $\varphi$ с растяжением в $r$ раз. Отсюда естественный вопрос, которым Гамильтон был одержим тринадцать лет:

Как умножать тройки $(a,b,c)$, чтобы получить такую же алгебру для трёхмерного пространства?

Требования: умножение должно быть согласовано со сложением (дистрибутивность), не иметь делителей нуля (можно делить) и сохранять длину:

$$|z_{1}z_{2}| = |z_{1}|\cdot|z_{2}|.$$

Последнее особенно важно: без него нет ни поворотов, ни геометрии.

Гамильтон бился над этим годами. Его сыновья, по его собственному рассказу, каждое утро за завтраком спрашивали: «Папа, ты уже умеешь умножать тройки?» — и он отвечал, что пока умеет только складывать.

Почему троек не бывает

Ответ, которого Гамильтон не знал: задача неразрешима. Доказательство несложно и стоит показать.

Пусть на $\mathbb{R}^3$ с базисом $1, i, j$ есть искомое умножение. Рассмотрим $ij$. Это элемент нашего пространства: $ij = \alpha+\beta i+\gamma j$. Домножим слева на $i$ (считая $i^2=-1$):

$$i(ij) = \alpha i+\beta i^{2}+\gamma ij = \alpha i-\beta+\gamma(\alpha+\beta i+\gamma j).$$

С другой стороны, по ассоциативности $i(ij)=(ii)j=-j$. Приравнивая коэффициенты при $j$: $\gamma^{2}=-1$, что для вещественного $\gamma$ невозможно. $\blacksquare$

Есть и «мультипликативный» аргумент: тождество вида $|z_1||z_2|=|z_1z_2|$ для сумм квадратов существует только в размерностях 1, 2, 4 и 8 (теорема Гурвица, 1898). Трёх среди них нет.

16 октября 1843 года

Понедельник. Гамильтон идёт с женой Хелен вдоль Королевского канала из своего дома в Дансинке на заседание Ирландской королевской академии, где председательствует. И по дороге его осеняет.

Прорыв двойной:

1. Нужна не тройка, а четвёрка. Одна вещественная координата и три мнимых:

$$q = a+bi+cj+dk.$$

2. Придётся отказаться от коммутативности. $ij \ne ji$.

Второе — акт интеллектуального мужества. Коммутативность умножения не подвергалась сомнению никогда, ни разу за всю историю математики. Отказаться от неё означало признать, что законы арифметики — не данность, а выбор.

На мосту Брум-Бридж Гамильтон ножом выцарапывает на камне:

$$\boxed{\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\;}$$

Оговорка о вандализме. Надпись не сохранилась — камень выветрился или был заменён при ремонтах, и никто её не видел. Однако сам эпизод документирован надёжно: Гамильтон описал его в письме сыну Арчибальду от 5 августа 1865 года и, что важнее, на следующий день, 17 октября 1843 года, отправил письмо Джону Грейвсу с изложением открытия. Мемориальная доска на мосту установлена в 1958 году Эймоном де Валера — премьер-министром Ирландии и, между прочим, бывшим преподавателем математики. Ежегодно 16 октября дублинские математики проходят «Прогулку Гамильтона» от Дансинкской обсерватории до моста.

Арифметика кватернионов

Из соотношения $ijk=-1$ и $i^2=j^2=k^2=-1$ выводится вся таблица. Умножим $ijk=-1$ справа на $k$: $ij k^{2} = -k$, то есть $-ij=-k$, значит

$$ij = k.$$

Аналогично получаем:

$$ij=k,\quad jk=i,\quad ki=j; \qquad ji=-k,\quad kj=-i,\quad ik=-j.$$

Мнемоника: по кругу $i\to j\to k\to i$ произведение соседних даёт следующий; против круга — со знаком минус. Ровно как векторное произведение ортов в трёхмерном пространстве — и это не совпадение.

Норма. Для $q=a+bi+cj+dk$ полагаем $|q|^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$, и она мультипликативна: $|q_1q_2|=|q_1||q_2|$.

Раскрыв это тождество в координатах, получаем тождество Эйлера о четырёх квадратах:

$$\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right) = c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}+c_{4}^{2},$$

где $c_i$ — билинейные выражения. ЭйлерЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя. нашёл это тождество в 1748 году, не понимая его происхождения; оно ключевое в доказательстве теоремы ЛагранжаЖозеф Луи Лагранжфранцузский математик и механик итальянского происхождения · 1736–1813Написал механику без единого чертежа, довёл до конца всё, что начали Эйлер и Ферма, и первым понял, что решаемость уравнения зависит от перестановок его корней. о представлении любого натурального числа суммой четырёх квадратов.

Обратный элемент. $q^{-1} = \dfrac{\bar q}{|q|^{2}}$, где $\bar q = a-bi-cj-dk$. Делить можно на всё, кроме нуля: кватернионы образуют тело (некоммутативное поле).

Зачем они нужны: повороты

Главное применение обнаружилось не сразу, но оказалось важнейшим.

Теорема. Пусть $q$ — единичный кватернион, $v=(x,y,z)$ — вектор, отождествлённый с чисто мнимым кватернионом $xi+yj+zk$. Тогда отображение

$$v \longmapsto q\,v\,q^{-1}$$

есть поворот трёхмерного пространства. Если записать $q = \cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}\,(u_{1}i+u_{2}j+u_{3}k)$, где $u$ — единичный вектор, то это поворот вокруг оси $u$ на угол $\theta$.

Обратите внимание на половинный угол. Кватернионы $q$ и $-q$ задают один и тот же поворот. Значит, группа единичных кватернионов (то есть сфера $S^{3}$, она же группа $\mathrm{SU}(2)$) отображается на группу поворотов $\mathrm{SO}(3)$ два к одному:

$$\mathrm{SU}(2) \longrightarrow \mathrm{SO}(3), \qquad \text{ядро} = \{\pm1\}.$$

Это двулистное накрытие, и оно имеет прямой физический смысл: спин электрона равен $\frac12$ именно потому, что состояние частицы преобразуется по представлению $\mathrm{SU}(2)$, а не $\mathrm{SO}(3)$. Поворот на $360°$ меняет знак волновой функции; чтобы вернуться в исходное состояние, нужно $720°$. Наглядная демонстрация — «трюк с тарелкой» или с ремнём: поворот на два оборота развязывает перекрут, поворот на один — нет.

Практика. Кватернионы — стандартный способ представления вращений в компьютерной графике, робототехнике, авиации и системах ориентации космических аппаратов. Причины: компактность (четыре числа против девяти у матрицы), отсутствие «шарнирного замка» (gimbal lock), удобная интерполяция (сферическая линейная интерполяция, slerp). Если вы вращали объект в трёхмерном редакторе или играли в компьютерную игру, вы пользовались кватернионами.

Что было дальше: свобода и её границы

Открытие Гамильтона вскрыло шлюз. Раз коммутативность необязательна, что ещё можно отбросить?

Октонионы. Уже 26 декабря 1843 года Джон Грейвс, друг Гамильтон и адресат его письма, строит восьмимерную алгебру — октавы. Публикует он их только в 1848-м, а тем временем в 1845 году то же самое независимо публикует Артур КэлиАртур Кэлианглийский математик и юрист · 1821–1895Четырнадцать лет работал адвокатом и между делами написал двести пятьдесят математических работ, а заодно придумал слово «матрица» и абстрактное определение группы., и они известны как «числа Кэли». Октонионы неассоциативны: $(ab)c\ne a(bc)$.

И на этом всё. Границы свободы оказались жёсткими:

Теорема	Год	Утверждение
ФробениусФердинанд Фробениуснемецкий математик · 1849–1917За несколько месяцев переписки создал теорию характеров конечных групп — и тем сделал абстрактную алгебру считаемой.	1878	Единственные конечномерные ассоциативные алгебры с делением над $\mathbb{R}$: $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{H}$
Гурвиц	1898	Композиционные алгебры (с мультипликативной нормой) существуют только в размерностях 1, 2, 4, 8
БоттРауль Боттамериканский математик · 1923–2005Обнаружил, что гомотопические группы классических групп повторяются с периодом два и восемь. Закономерность настолько неожиданная, что её называют чудом, — и на ней стоит K-теория, а через неё теорема об…, МилнорДжон Милнорамериканский математик · 1931–2025Нашёл семимерные сферы, гомеоморфные обычной, но не диффеоморфные ей, — и обнаружил этим, что топологическая структура и гладкая не одно и то же. Пытался доказать противоположное., Кервер	1958	Алгебры с делением над $\mathbb{R}$ (даже неассоциативные) существуют только в размерностях 1, 2, 4, 8. Доказательство топологическое

Последнее особенно замечательно: чисто алгебраический вопрос («в каких размерностях можно делить?») решается методами алгебраической топологии.

Так что после кватернионов и октонионов больше ничего нет. Гамильтон открыл не бесконечную лестницу, а её последнюю ступеньку.

Одиннадцать лет свободы

Эта точка открывает короткий период, за который представление об алгебре переменилось полностью:

• 1843 — Гамильтон, Дублин: некоммутативное умножение;
• 1844 — ГрассманГерман Грассманнемецкий учитель гимназии, математик и лингвист · 1809–1877Построил линейную и внешнюю алгебру за полвека до того, как они понадобились, — и, отчаявшись быть прочитанным, ушёл в санскрит, где и прославился., Штеттин: $n$-мерные пространства;
• 1847–1854 — БульДжордж Бульанглийский математик и логик · 1815–1864Сын сапожника, не проучившийся в университете ни дня, превратил логику в алгебру — и через девяносто лет выяснилось, что это в точности алгебра электрических переключателей., Линкольн и Корк: алгебра логики;
• 1854 — Кэли, Лондон: абстрактное определение группы.

За одиннадцать лет догма «алгебра — наука о числах» перестала существовать.

Оговорка о самом Гамильтоне. Последние двадцать два года жизни он посвятил кватернионам почти без остатка, написав два огромных тома и убеждая современников, что это универсальный язык физики. Он преувеличивал: в векторной форме (Гиббс, Хевисайд, 1880-е) те же вычисления оказались удобнее, и «кватернионные войны» конца XIX века векторный анализ выиграл. Реванш кватернионы взяли в XX веке — через квантовую механику и компьютерную графику.

Следующая точка: Штеттин — самый недооценённый математик века.