Фердинанд Фробениус

Фробениус — главная фигура берлинской школы после Кронекера и Вейерштрасса, человек, который умел превращать структурные вопросы в вычисления с матрицами.

Берлин, Цюрих, Берлин

Учился у Вейерштрасса и Кронекера, семнадцать лет профессорствовал в Цюрихском политехникуме, в 1892 году вернулся в Берлин на кафедру Кронекера. Как заведующий он держал берлинскую школу в строгих «чистых» рамках и, в отличие от Клейна в Гёттингене, к приложениям относился холодно — что и стоило Берлину первенства.

Характеры

В 1896 году Дедекинд прислал ему задачу о «групповом определителе»: определитель матрицы, построенной по таблице умножения группы, необъяснимо распадался на неприводимые множители. За несколько месяцев переписки Фробениус построил теорию, объясняющую почему.

Характер представления — след матрицы, отвечающей элементу группы. Число неприводимых характеров равно числу классов сопряжённости; характеры ортогональны; таблица характеров — маленькая табличка чисел — определяет группу почти целиком.

Это дало алгебре то, чего ей не хватало: способ считать. Абстрактную конечную группу можно теперь изучать арифметикой её характеров. Первое же применение — теорема Бёрнсайда о разрешимости групп порядка $p^a q^b$, доказанная характерами и до сих пор не имеющая приличного элементарного доказательства. Дальше — теорема Фейта — Томпсона и вся классификация конечных простых групп.

Прочее

• Теорема Фробениуса (1878): единственные конечномерные ассоциативные алгебры с делением над вещественными числами — сами вещественные числа, комплексные и кватернионы Гамильтона. Больше ничего не бывает.
• Теорема Перрона — Фробениуса о неотрицательных матрицах: у такой матрицы есть положительное собственное значение с положительным собственным вектором. На ней стоят цепи Маркова, модели экономики Леонтьева и алгоритм PageRank.
• Эндоморфизм Фробениуса в характеристике $p$, теорема Фробениуса о слоениях, метод Фробениуса для дифференциальных уравнений.

Учеником его был Иссай Шур, доведший теорию представлений до нынешнего вида. Сам Фробениус к своей работе относился без пафоса и на вопрос о применениях характеров, по преданию, отвечал, что применений не бывает и это к лучшему.