Эрлангенская программа

Обстоятельства

Осенью 1872 года двадцатитрёхлетний Феликс Клейн получает профессуру в Эрлангене. По обычаю новый профессор представлял факультету печатную программную работу и произносил вступительную речь. Работа называлась «Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen» — «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований».

Стоит развести две вещи, которые в пересказах постоянно сливают. Эрлангенская программа — это печатная брошюра, а не произнесённая речь. Вступительную речь Клейн в декабре прочёл на другую тему, о преподавании математики. Текст брошюры разошёлся среди математиков и лет через пятнадцать стал знаменит; сам Клейн потом переиздал его с комментариями.

Идея вызревала не в одиночку. Клейн только что вернулся из Парижа, где сдружился с СофусомСофус Линорвежский математик · 1842–1899Перенёс мысль Галуа с уравнений алгебраических на дифференциальные — и получил объект, без которого не существует ни современной геометрии, ни физики элементарных частиц. Ли (точка о нём в линии алгебры); они вместе изучали новую тогда теорию групп ЖорданаКамиль Жорданфранцузский математик, инженер путей сообщения · 1838–1922Написал книгу, после которой теорию Галуа стало возможно выучить, и доказал утверждение о том, что замкнутая кривая делит плоскость, — оказавшееся неожиданно трудным. и обсуждали, что понятие группы — универсальный ключ. Ли применил его к дифференциальным уравнениям, Клейн — к геометрии.

Определение

Дано: множество (пространство) $X$ и группа $G$ его преобразований.
Геометрия пары $(X,G)$ — изучение тех свойств фигур, которые сохраняются при всех преобразованиях из $G$.

Определение перевешивает акцент с объектов на допустимые движения. Вопрос «что такое геометрия?» заменяется вопросом «какие преобразования мы считаем не меняющими фигуру?».

Пример: равенство треугольников. В школе оно определяется как совмещение наложением — то есть через группу движений. Если расширить группу до подобий, то все равносторонние треугольники станут «одинаковыми», а понятие длины исчезнет — останутся углы. Расширим ещё, до аффинных преобразований, — исчезнут и углы, но останутся параллельность, отношение отрезков на одной прямой и отношение площадей. Расширим до проективных — останется только двойное отношение и инцидентность.

Геометрия	Группа	Размерность группы	Что сохраняется
Проективная	$\mathrm{PGL}(3,\mathbb{R})$	8	инцидентность, двойное отношение
Аффинная	аффинная группа	6	параллельность, отношения площадей
Подобия	подобия	4	углы, отношения длин
Евклидова	движения $\mathrm{E}(2)$	3	длины, углы, площади
Сферическая	$\mathrm{SO}(3)$	3	длины на сфере
Гиперболическая	$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$	3	гиперболические длины

Иерархия: чем больше группа, тем меньше инвариантов и тем «беднее» геометрия. Проективная геометрия — самая бедная и потому самая общая; евклидова — самая богатая и самая частная.

Все три геометрии внутри одной

Самое сильное следствие программы обнаружил ещё Артур КэлиАртур Кэлианглийский математик и юрист · 1821–1895Четырнадцать лет работал адвокатом и между делами написал двести пятьдесят математических работ, а заодно придумал слово «матрица» и абстрактное определение группы. (1859), заявивший: «проективная геометрия есть вся геометрия». Клейн довёл его мысль до конца.

Зафиксируем в проективной плоскости некоторую кривую второго порядка — назовём её абсолютом — и ограничим группу теми проективными преобразованиями, которые абсолют сохраняют. Расстояние определим через двойное отношение: если прямая через $P$ и $Q$ пересекает абсолют в точках $A,B$, то

$$d(P,Q)=c\left|\ln\left(P,Q;A,B\right)\right| .$$

Получается вот что:

• абсолют — вещественная невырожденная коника, точки берутся внутри неё → геометрия ЛобачевскогоНиколай Иванович Лобачевскийрусский математик, ректор Казанского университета · 1792–1856Первым напечатал геометрию, в которой параллельных больше одной, — и двадцать лет выслушивал, что это бессмыслица.;
• абсолют — мнимая коника (нет вещественных точек) → эллиптическая геометрия (сферическая с отождествлёнными антиподами);
• абсолют вырожден (пара мнимых точек на бесконечно удалённой прямой) → евклидова геометрия.

Одна конструкция, три классические геометрии как частные случаи. Термины «гиперболическая», «эллиптическая» и «параболическая» геометрия придумал именно Клейн, по аналогии с типами коник.

Философский итог таков: спор о пятом постулате был спором о том, какую конику считать абсолютом. Вопрос, из-за которого две тысячи лет ломали копья, свёлся к выбору параметра в одной формуле.

Где программа не сработала

Клейн полагал, что дал определение геометрии вообще. Это оказалось не так, и границу видно отчётливо.

Схема $(X,G)$ предполагает, что группа действует транзитивно: любую точку можно перевести в любую, все точки равноправны, пространство однородно. Но у произвольного риманова многообразия (Риман, 1854) кривизна меняется от точки к точке, и группа изометрий может состоять из одного тождественного преобразования. Точки не равноправны: у одной кривизна одна, у другой другая. Эрлангенская схема к такому пространству неприменима.

Получилось, что 1854 и 1872 годы дали два взаимно не сводимых взгляда: РиманБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики. — геометрия как поле локальных измерений; Клейн — геометрия как глобальная симметрия. Помирил их Эли КартанЭли Картанфранцузский математик · 1869–1951Довёл до порядка классификацию Киллинга, придумал дифференциальные формы и связности — и двадцать лет считался автором работ, которых никто не читал. в 1920-е: его «обобщённые пространства» (сегодня — связности Картана) устроены так, что в каждой точке касательное пространство несёт клейновскую геометрию, а связность описывает, как эти геометрии склеиваются при перемещении. Ещё через тридцать лет это же устройство переоткроют физики под именем калибровочного поля (Янг и Миллс): группа — локально, склейка — связность.

Иными словами, программа Клейна оказалась не определением геометрии, а описанием её инфинитезимального слоя. Что для программы, написанной в 23 года, более чем достойный итог.

Что было дальше с самим Клейном

Клейн быстро перерос роль автора одной идеи. В Гёттингене, куда он пришёл в 1886-м, он выстроил математический центр мирового значения, затеял многотомную «Энциклопедию математических наук», реформировал школьное преподавание (его лозунг — «функция и её график должны стать стержнем курса» — определил вид школьной математики XX века, включая российскую) и добился, вместе с ГильбертомДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти., чтобы в 1919 году Эмми НётерЭмми Нётернемецкий математик · 1882–1935Изменила не столько набор теорем, сколько способ думать: после неё алгебра занимается не вычислениями с объектами, а структурами и отображениями между ними. получила право преподавать.

Ещё одна нить, идущая отсюда: связь симметрий и законов сохранения. Клейн поставил перед Нётер задачу о сохранении энергии в общей теории относительности — и в 1918 году появилась теорема Нётер, вокруг которой сегодня строится вся теоретическая физика. Мысль «симметрия первична» родилась в Эрлангене.

Задача. Покажите, что двойное отношение четырёх точек на прямой сохраняется при центральном проектировании на другую прямую. (Указание: выразите его через синусы углов при центре проекции и площади треугольников — все зависимости от расстояний до прямой сократятся.) Почему из этого следует, что двойное отношение — инвариант проективной геометрии, а простое отношение $\frac{AC}{CB}$ — нет?

Следующая точка: Падуя — где для римановой геометрии изготовят вычислительный аппарат, который двадцать лет будет казаться никому не нужным.