Поиск

Карта → персоналии → биография

1842–1899 норвежский математик

Софус Ли

Marius Sophus Lie

Софус Ли. Из фотоальбома, поднесённого Вейерштрассу
Софус Ли. Из фотоальбома, поднесённого Вейерштрассу Ludwik Szaciński · Public domain

Перенёс мысль Галуа с уравнений алгебраических на дифференциальные — и получил объект, без которого не существует ни современной геометрии, ни физики элементарных частиц.

Алгебра узнала от Галуа, что уравнение стоит изучать через группу его симметрий. Ли задал тот же вопрос про дифференциальные уравнения — и обнаружил, что нужные группы непрерывны: их элементы задаются не номером, а набором параметров, которые можно менять понемногу.

Поздний старт

Сын пастора, восьмой ребёнок в семье. До двадцати шести лет он не понимал, чем хочет заниматься: кончил университет в Христиании средним студентом, подрабатывал репетиторством, думал об астрономии. Перелом — чтение работ Понселе и Плюккера по геометрии; в 1869 году он печатает первую статью и получает стипендию на поездку в Германию.

В Берлине он знакомится с Феликсом Клейном — на несколько лет они становятся неразлучны, и обе главные программы, эрлангенская и «непрерывная теория Галуа», вырастают из этих разговоров. Летом 1870 года, во время франко-прусской войны, Ли отправился пешком путешествовать по Франции; его арестовали под Фонтенбло как немецкого шпиона — в бумагах были заметки со словами вроде «линия» и «сфера». Месяц в тюрьме он, по собственным словам, использовал продуктивно.

Непрерывные группы

С 1873 года Ли строит теорию систематически: группы преобразований, зависящие от параметров, их инфинитезимальные образующие и коммутаторы. Ключевой ход — свести группу к её «касательному» объекту в единице: тогда сложная нелинейная задача о группе превращается в линейную алгебру со скобкой

$$[X,Y] = XY - YX.$$

Сегодня этот объект называют алгеброй Ли, а всё вместе — теорией групп Ли. Классификацию простых комплексных алгебр Ли получил Вильгельм Киллинг, школьный учитель из провинциального Браунсберга; Ли к его работам относился ревниво и без благодарности.

Изначальная цель — «теория Галуа для дифференциальных уравнений» — была достигнута лишь отчасти: разрешимость в квадратурах действительно связана с разрешимостью группы, но общего ответа, как у Галуа, не вышло. Зато вышло всё остальное.

Что стало

Группы Ли — язык, на котором написана вся геометрия XX века и почти вся теоретическая физика: калибровочные теории Янга — Миллса устроены как связности со значениями в алгебре Ли, группы лиева типа составляют почти весь список конечных простых групп, квантовые группы Дринфельда — их деформации.

Последние годы Ли провёл в Лейпциге, тяжело болел, рассорился с Клейном и почти со всеми учениками; в предисловии к третьему тому «Теории групп преобразований» он публично отрёкся от дружбы с Клейном. В 1898 году вернулся в Христианию, где через год умер.

Точки на карте

Где имя встречается в статьях: сначала точки, где этот человек — главный герой, дальше по хронологии.

Все персоналии