Шлефли: правильные многогранники в четвёртом измерении

Человек

Людвиг Шлефли (1814–1895) до тридцати четырёх лет преподавал в гимназии города Тун. Математике учился сам; знал, кроме того, санскрит и полдюжины европейских языков — и в 1843 году это неожиданно определило его судьбу: Штейнер, ЯкобиКарл Густав Якобинемецкий математик · 1804–1851Соперничал с Абелем в теории эллиптических функций и придумал вместе с Бесселем вещь, изменившую науку сильнее любой теоремы, — исследовательский семинар. и ДирихлеПетер Густав Лежён Дирихленемецкий математик · 1805–1859Дал первое строгое условие сходимости ряда Фурье, нынешнее определение функции и способ доказывать теоремы теории чисел средствами анализа., ехавшие в Италию, взяли его с собой переводчиком. Полгода в дороге с тремя первыми математиками Европы заменили ему аспирантуру. С 1848 года — приват-доцент в Берне, с 1868-го профессор.

Что он сделал

«Theorie der vielfachen Kontinuität» — «Теория многократной непрерывности», рукопись 1850–1852 годов.

Шлефли строит геометрию пространства $n$ измерений: точка есть набор $n$ чисел, расстояние задаётся привычной формулой, определяются плоскости всех промежуточных размерностей, углы, объёмы. Всё это — за два года до лекции Римана и совершенно независимо от неё; РиманБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики. шёл от метрики и кривизны, Шлефли — от координат и комбинаторики. Возможным обе программы сделал Декарт: если точка — это набор чисел, ничто не мешает взять четыре числа.

И в этом пространстве он классифицирует правильные многогранники (он называет их «полисхемами»; сегодня — политопы).

Размерность	Число правильных выпуклых многогранников
2	бесконечно (правильные $n$-угольники)
3	5 (платоновы тела)
4	6
$\geqslant5$	3

Результат неожидан дважды. Во-первых, в четырёх измерениях многогранников больше, чем в трёх. Во-вторых, начиная с пятого разнообразие схлопывается навсегда до трёх очевидных серий: симплекс (аналог тетраэдра), гиперкуб и ортоплекс (аналог октаэдра).

Шесть четырёхмерных: симплекс $\{3,3,3\}$ (5 ячеек-тетраэдров), гиперкуб $\{4,3,3\}$ (8 кубов), ортоплекс $\{3,3,4\}$ (16 тетраэдров), 24-ячейка $\{3,4,3\}$, 120-ячейка $\{5,3,3\}$ и 600-ячейка $\{3,3,5\}$.

Символ Шлефли — та самая запись $\{p,q\}$, $\{p,q,r\}$ и так далее — придуман здесь и остаётся стандартом. Читается рекурсивно: $\{p,q\}$ — многогранник из правильных $p$-угольников, по $q$ вокруг вершины; $\{p,q,r\}$ — из ячеек $\{p,q\}$, по $r$ вокруг каждого ребра.

24-ячейка

Отдельного слова заслуживает $\{3,4,3\}$ — многогранник, не имеющий аналога ни в какой другой размерности. У него 24 вершины, 96 рёбер, 96 треугольных граней и 24 октаэдрические ячейки. Он самодвойствен (двойственный к $\{3,4,3\}$ есть $\{3,4,3\}$), чего в трёх измерениях умеет только тетраэдр.

Построить его просто: возьмите в $\mathbb{R}^4$ все точки вида $(\pm1,\pm1,0,0)$ и всевозможные перестановки координат. Их ровно $4\cdot C_{4}^{2}=24$, все на расстоянии $\sqrt2$ от начала, и это вершины 24-ячейки.

Эти же 24 точки — корневая система алгебры Ли $F_4$ и, если добавить к ним центры, ядро решётки $D_4$, дающей плотнейшую упаковку шаров в четырёх измерениях. Исключительность 24-ячейки — не курьёз, а тень исключительных объектов алгебры, о которых линия алгебры рассказывает отдельно.

Проверить формулу ЭйлераЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя. напрямую на четырёхмерном многограннике нельзя: в четырёх измерениях верна её версия $V-E+F-C=0$ (где $C$ — число ячеек). Для 24-ячейки: $24-96+96-24=0$. Сходится.

Рукопись, которую не взяли

Работу сочли слишком длинной и слишком странной. Академии Вены и Берлина отказали в публикации. Отдельные фрагменты вышли в 1858 и 1860 годах — при содействии КэлиАртур Кэлианглийский математик и юрист · 1821–1895Четырнадцать лет работал адвокатом и между делами написал двести пятьдесят математических работ, а заодно придумал слово «матрица» и абстрактное определение группы., единственного, кто оценил, — и по-английски. Полностью «Theorie der vielfachen Kontinuität» напечатали в 1901 году, через шесть лет после смерти автора.

За полвека паузы результаты успели переоткрыть: правильные четырёхмерные многогранники независимо нашёл Стрингем (1880), и в англоязычной литературе XIX века их долго называли его именем. Ещё один похороненный текст в коллекции этой линии — рядом с Дезаргом и рукописью Ферма.

Шлефли принадлежат и другие вещи, которые пришлось переоткрывать: функция Шлефли (объём сферического симплекса и её дифференциал), а также знаменитый результат о том, что на гладкой кубической поверхности лежат ровно 27 прямых — один из самых элегантных фактов алгебраической геометрии.

Задача. Гиперкуб $\{4,3,3\}$ имеет 16 вершин, 32 ребра, 24 квадратные грани и 8 кубических ячеек. Проверьте четырёхмерную формулу Эйлера $V-E+F-C=0$ и объясните, откуда берутся числа: вершины — все наборы $(\pm1,\pm1,\pm1,\pm1)$, а ячейки получаются фиксацией одной координаты в $\pm1$.

Следующая точка: Гёттинген, 10 июня 1854 года — где идею многомерного пространства выведут не из координат, а из измерения, и она окажется описанием реальности.