Карта → линии → линия

Геометрия

двадцать два века вокруг пятого постулата — и физика как следствие его падения

Открыть на карте

1. 1
   Фивы ок. 1650 г. до н. э.

   Папирус Ахмеса: геометрия рецептов

   Египетский писец находит площадь круга с ошибкой 0,6 %, считает уклон пирамиды и знает точную формулу объёма усечённой пирамиды. Ни одно правило не сопровождается обоснованием — это геометрия измерения, а не геометрия рассуждения.

2. 2
   Милет ок. 585 г. до н. э.

   Фалес: первое доказательство

   Угол, опирающийся на диаметр, — прямой. Традиция приписывает Фалесу Милетскому первое доказательство геометрического утверждения: переход от «так получается» к «так не может не быть». Достоверных текстов не сохранилось, но именно здесь принято проводить границу математики.

3. 3
   Кротон ок. 520 г. до н. э.

   Кротон: теорема Пифагора

   Соотношение $a^2+b^2=c^2$ известно Вавилону, Индии и Китаю задолго до греков. Греческий вклад — доказательство и последовавшая катастрофа: в той же школе обнаружат, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной, и число перестанет годиться для измерения длин.

4. 4
   Афины ок. 440 г. до н. э.

   Квадратура луночек

   Гиппократ Хиосский находит фигуры с криволинейной границей, площадь которых точно равна площади треугольника, — и порождает надежду на квадратуру круга. Надежда продержится 2322 года; квадрируемых луночек окажется ровно пять, и последнюю точку в их истории поставят в Казани.

5. 5
   Александрия ок. 300 г. до н. э.

   «Начала» — и подозрение о пятом постулате

   Тринадцать книг, 465 предложений, выведенных из пяти постулатов и пяти аксиом. И сразу — трещина: пятый постулат вчетверо длиннее остальных, выглядит как теорема, и сам Евклид откладывает его применение до двадцать девятого предложения. Отсюда начинается самая долгая драма в истории математики.

6. 6
   Александрия ок. 200 г. до н. э.

   Конические сечения Аполлония

   Восемь книг о кривых, получаемых сечением конуса. Аполлоний Пергский вводит термины «эллипс», «парабола», «гипербола» — они происходят от алгебраической операции приложения площадей — и доходит до теории нормалей, то есть до порога дифференциальной геометрии. Кеплер получит готовый язык через восемнадцать веков.

7. 7
   Афины ок. 450 г.

   Прокл: почему правильных паркетов ровно три

   Комментируя «Начала», Прокл записывает то, что приписывает ещё пифагорейцам: вокруг точки укладываются шесть равносторонних треугольников, четыре квадрата или три шестиугольника — и ничего больше. Правильный пятиугольник не годится: его угол в 108° не делит 360°. Первый в истории запрет на узор.

8. 8
   Гургандж ок. 1000–1017

   Академия Мамуна: Бируни и Ибн Сина

   Хорезмийский «дом мудрости», где одновременно работали Бируни, Ибн Сина и математик Абу Наср ибн Ирак. Здесь сферическая тригонометрия избавляется от громоздкой теоремы Менелая и получает теорему синусов — инструмент, без которого не было бы ни точных астрономических таблиц, ни задачи о кибле. Эта точка — про среду; главные результаты Бируни придут позже и уже в Газни.

9. 9
   Исфахан конец 1077

   Хайям: четырёхугольники против постулата

   В «Комментариях к трудностям во введениях книги Евклида» Омар Хайям разбирает четырёхугольник с двумя прямыми углами при основании и равными боковыми сторонами и рассматривает три возможности для верхних углов. По существу это исследование трёх геометрий сразу — за 750 лет до Лобачевского. Остроугольный случай он отвергает не математически, а по «принципу Аристотеля».

10. 10
    Марага ок. 1250 г.

    Ат-Туси в Мараге

    Насир ад-Дин ат-Туси, глава крупнейшей обсерватории Средневековья, пишет отдельный трактат о параллельных — и тоже упирается в скрытую эквивалентность. Через триста лет в Риме напечатают под его именем чужой текст, и именно эта подделка попадёт к Валлису и Саккери, запустив европейский этап осады.

11. 11
    Гранада вторая половина XIV в.

    Альгамбра: орнамент как перебор возможностей

    Мастера насридской Гранады полтора века перебирают способы замостить стену повторяющимся узором — и подходят к границе, о существовании которой не подозревают: таких узоров ровно семнадцать типов, и это теорема. Сколько из них в Альгамбре на самом деле, спорят до сих пор: считали и одиннадцать, и тринадцать.

12. 12
    Исфахан 1453

    Дарб-и Имам: пять плиток исфаханского гириха

    Узор святилища раскладывается на пять размеченных плиток, а покрытие, которое из них складывается, почти не имеет периода. За пятьсот лет до Пенроуза, циркулем и линейкой — и, судя по всему, без всякой теории за спиной.

13. 13
    Линц «Harmonices Mundi», книга II — 1619

    Кеплер: первая опись паркетов

    Во второй книге «Гармонии мира» Кеплер впервые перебирает замощения правильными многоугольниками систематически — как ботаник перебирает виды. Среди его рисунков есть узор «Aa» с пятиугольниками, пентаграммами и десятиугольниками, в котором через триста пятьдесят лет узна́ют предвестие апериодичности.

14. 14
    Лейден 1637; рукопись Ферма — Тулуза, 1636

    Декарт и Ферма: у точки появляются координаты

    Кривая и уравнение оказываются одним и тем же объектом. Геометрия становится вычислимой — и, впервые за две тысячи лет, перестаёт зависеть от того, можно ли фигуру начертить. Без этого шага вторая половина линии не существует: понятие «замена координат» требует, чтобы координаты сначала появились.

15. 15
    Париж 1639

    Дезарг: геометрия без расстояний

    Жерар Дезарг постулирует, что параллельные прямые пересекаются — в бесконечно удалённой точке, — и получает геометрию, где нет исключений и не нужны длины. Тираж — полсотни экземпляров, все розданы друзьям; двести шесть лет спустя работу восстановят по рукописной копии, найденной в букинистической лавке.

16. 16
    Павия 1733

    «Евклид, очищенный от всех изъянов»

    Джироламо Саккери принимает отрицание пятого постулата и выводит из него теорему за теоремой, надеясь дойти до противоречия. Противоречия нет — он доказывает десятки верных утверждений геометрии Лобачевского и объявляет их «противоречащими природе прямой линии». Умирает в год выхода книги, так и не поняв, что открыл.

17. 17
    Санкт-Петербург письмо Гольдбаху — 14 ноября 1750; кривизна поверхностей — Берлин, 1760

    Эйлер: два результата, на которых стоит половина линии

    Первый топологический инвариант — и главные кривизны, из которых Гаусс сделает свою «замечательную теорему»

    Формула $V-E+F=2$ — первый в истории топологический инвариант, найденный за девяносто семь лет до появления слова «топология». Главные кривизны поверхности — то, из чего Гаусс через шестьдесят семь лет сделает свою «замечательную теорему». Обе вещи используются дальше по карте постоянно, и обе введены здесь.

18. 18
    Мезьер 1765–1795; Политехническая школа — Париж, 1794

    Монж: начертательная геометрия под грифом

    Восемнадцатилетний чертёжник военной школы решает задачу об укрытии укрепления от настильного огня чертежом за часы вместо суток арифметики — и метод немедленно засекречивают. Гриф снимут через тридцать лет; из курса, прочитанного в Политехнической школе, выйдут Понселе и вся французская геометрия XIX века.

19. 19
    Дерпт Казань 1808–1820, Дерпт 1821–1836

    Бартельс: учитель Гаусса и Лобачевского

    Мартин Бартельс учил арифметике девятилетнего Гаусса в Брауншвейге, а через двадцать лет читал математику Лобачевскому в Казани, откуда уехал профессором в Дерпт. Передал ли он гауссовы сомнения в пятом постулате — вопрос, на который у историков нет положительного ответа; и это хороший повод поговорить о том, как проверяются родословные идей.

20. 20
    Саратов 1813–1814; книга — Мец, 1822

    Понселе: проективная геометрия, восстановленная по памяти

    Раненого лейтенанта наполеоновской армии подбирают на поле под Красным и уводят пленным в Саратов. Не имея ни одной книги, он за год восстанавливает по памяти всё, чему учился, и заново строит проективную геометрию — не подозревая, что повторяет забытого Дезарга.

21. 21
    Казань 23 февраля 1826

    Казань, 23 февраля 1826 года

    Лобачевский докладывает «Краткое изложение начал геометрии» — день рождения неевклидовой геометрии как публичного события. Он не просто отвергает пятый постулат, а строит на его отрицании полноценную науку с тригонометрией, формулами площадей и объёмов — и предлагает проверить, какая геометрия у нашего мира, астрономическими измерениями. Признания он не дождётся.

22. 22
    Гёттинген 8 октября 1827

    Гаусс: внутренняя геометрия поверхностей

    «Disquisitiones generales circa superficies curvas»: кривизна поверхности вычисляется изнутри неё самой и не меняется при изгибании — theorema egregium. Отсюда следует и невозможность точной карты Земли, и то, что геометрия Лобачевского есть геометрия поверхности постоянной отрицательной кривизны. О последнем Гаусс знал и молчал, опасаясь «крика беотийцев».

23. 23
    Тимишоара письмо отцу — 3 ноября 1823; «Appendix» — 1832

    «Из ничего я создал новый, иной мир»

    Янош Бойяи строит «абсолютную науку о пространстве» — систему теорем, верных сразу в обеих геометриях, — и печатает её 26-страничным приложением к учебнику отца. В ней есть и то, чего нет у Лобачевского: доказательство, что в неевклидовой геометрии квадратура круга возможна. Ответ Гаусса ломает его.

24. 24
    Берн рукопись 1850–1852; полное издание — 1901

    Шлефли: правильные многогранники в четвёртом измерении

    В трёх измерениях правильных многогранников пять, в четырёх — шесть, а начиная с пятого — всегда три, и так до бесконечности. Людвиг Шлефли получает этот результат за два года до Римана, строя геометрию $n$-мерного пространства с нуля. Рукопись сочли слишком странной, и целиком её напечатали через шесть лет после смерти автора.

25. 25
    Гёттинген 10 июня 1854

    Один день — две математики

    Габилитация Римана: лекция о гипотезах в основании геометрии (на неё пришёл престарелый Гаусс) и первое общее определение интеграла — в одной работе. Один из самых плотных научных дней в истории.

26. 26
    Болонья 1868

    Модель Бельтрами: непротиворечивость

    Эудженио Бельтрами строит модель: геометрия Лобачевского реализуется на поверхности постоянной отрицательной кривизны и на круге со специально устроенным измерением расстояний. Отсюда следует главное — если гиперболическая геометрия противоречива, то противоречива и евклидова. Спор двух тысячелетий закрыт; Лобачевский и Бойяи до этого не дожили.

27. 27
    Эрланген октябрь 1872

    Эрлангенская программа

    Феликс Клейн предлагает определение: геометрия — это теория инвариантов группы преобразований. Разные группы дают разные геометрии, и все они укладываются в единую иерархию. Программа на полвека определила лицо предмета — и обнажила собственные границы: риманова геометрия переменной кривизны в неё не влезает.

28. 28
    Падуя 1887–1892

    Тензорное исчисление Риччи

    Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита создают «абсолютное дифференциальное исчисление» — способ писать формулы так, чтобы они не зависели от выбора координат. Современникам это казалось техникой ради техники. Через двадцать три года выяснится, что другого языка для общей теории относительности не существует.

29. 29
    Стокгольм 1888

    Ковалевская: волчок и премия Бордена

    Третий и последний интегрируемый случай вращения тяжёлого твёрдого тела — после Эйлера и Лагранжа. Метод оказался важнее результата: Ковалевская искала не решение, а условие однозначности решения в комплексном времени, и этот приём стал стандартным тестом на интегрируемость. Премию Парижской академии повысили с трёх до пяти тысяч франков.

30. 30
    Санкт-Петербург параллелоэдры — 1885, «Симметрия правильных систем фигур» — 1891

    Фёдоров: двести тридцать способов быть кристаллом

    Симметрии пространства пересчитаны: двести тридцать групп и ни одной сверх

    Петербургский кристаллограф доказывает, что видов симметрии у решётки конечное число, и выписывает список: семнадцать на плоскости, двести тридцать в пространстве. Список закрыт — восемнадцатого типа обойного узора не существует. Оттуда же следует запрет: пятерной симметрии у кристалла быть не может.

31. 31
    Париж 1895–1904

    Пуанкаре: «Analysis Situs»

    Топология создаётся за одну работу; её понятиями пользуются три последние точки линии

    Топология создаётся за одну работу и пять дополнений к ней: фундаментальная группа, гомологии, числа Бетти, двойственность. В последнем дополнении Пуанкаре строит контрпример к собственной догадке — и формулирует вопрос, на который ответят через девяносто восемь лет.

32. 32
    Гёттинген 1899

    Гильберт: «Основания геометрии»

    Двадцать одна аксиома вместо пяти постулатов — и требование, чтобы смысл слов «точка» и «прямая» нигде в доказательстве не использовался. Заодно обнаруживается неожиданное: каждой геометрической аксиоме отвечает алгебраическое свойство координат, и теорема Паппа оказывается коммутативностью умножения, записанной фигурами.

33. 33
    Кёльн 21 сентября 1908

    «Отныне пространство и время — фикции»

    Герман Минковский переписывает специальную теорию относительности как геометрию четырёхмерного пространства-времени с неопределённой метрикой. Преобразования Лоренца оказываются поворотами, парадокс близнецов — неравенством треугольника наоборот, а пространство скоростей — плоскостью Лобачевского. Эйнштейн сначала назвал это «излишней учёностью».

34. 34
    Берлин 4–25 ноября 1915

    ОТО: гравитация — это кривизна

    Четыре доклада в Прусской академии за четыре недели. Гравитация оказывается не силой, а кривизной пространства-времени; уравнения поля записаны через тензор Риччи. Шестидесятилетний вопрос Римана — какова геометрия мира — получает ответ: она определяется тем, что в мире находится.

35. 35
    Цюрих 1918; фазовая версия — 1929

    Вейль: первая калибровочная теория

    Через два года после общей теории относительности Герман Вейль пытается объединить гравитацию с электромагнетизмом, разрешив масштабу меняться при переносе. Как физика теория неверна — Эйнштейн сказал об этом в приписке к самой публикации. Но слово «калибровка», идея локальной симметрии и весь аппарат остались отсюда.

36. 36
    Париж 1922–1926; спиноры — 1913

    Эли Картан: связность

    Геометрия Клейна, прикреплённая к каждой точке и меняющаяся от точки к точке, — так Картан помирил Эрланген с Риманом. Попутно он открыл кручение, за пятнадцать лет до Дирака нашёл спиноры и построил аппарат, который через тридцать лет физики переоткроют под именем калибровочного поля.

37. 37
    Принстон 1944–1946

    Черн: характеристические классы

    Сначала — внутреннее доказательство формулы Гаусса — Бонне в любой чётной размерности, на шести страницах. Затем — классы Черна: определённые интегралы от кривизны дают целые числа, не зависящие ни от связности, ни от метрики. Кривизна локальна и произвольна, а числа, которые из неё получаются, топологичны и неизменны.

38. 38
    Санкт-Петербург Ленинград, 1948–1955

    Александров: кривизна без гладкости

    Кривизну можно определить сравнением треугольников — без метрики, без производных, без гладкости вообще. Класс таких пространств, в отличие от гладких многообразий, замкнут относительно предельного перехода, и именно поэтому через полвека на нём будет держаться доказательство Перельмана.

39. 39
    Амстердам конгресс — сентябрь 1954, «Circle Limit I» — 1958

    Эшер и Коксетер: художник, которому не хватило плоскости

    Эшер, не окончивший даже школьного курса математики, восемнадцать лет самостоятельно перебирал те же семнадцать групп — срисовав первые узоры в Альгамбре. На конгрессе математиков в Амстердаме его выставку видит Коксетер, и присланный им через три года чертёж выводит Эшера туда, где узор может уменьшаться бесконечно: в круг Пуанкаре.

40. 40
    Кембридж (Массачусетс) 1954 и 1956

    Нэш: всякая геометрия помещается в евклидову

    Всякое риманово многообразие изометрически вкладывается в евклидово пространство достаточно большой размерности — вопрос, открытый с 1873 года, закрыт. А в классе $C^1$ размерности хватает смехотворно малой, и следствия абсурдны: сферу можно смять в сколь угодно малый шар, не изменив ни одной длины.

41. 41
    Брукхейвен 1954

    Янг — Миллс: геометрия, не узнавшая себя

    Чжэньнин Янг и Роберт Миллс обобщают электромагнетизм на неабелеву группу симметрии. Полученные ими формулы — в точности теория связностей на главных расслоениях, разработанная геометрами двадцатью годами раньше. Ни физики, ни математики этого не заметили ещё двадцать лет; когда заметили, обе науки изменились.

42. 42
    Казань 1954

    Петров: классификация гравитационных полей

    Алексей Зиновьевич Петров разбивает все возможные гравитационные поля на алгебраические типы по строению тензора кривизны. Классификация стала стандартным инструментом общей теории относительности: именно с её помощью через девять лет будет найдено решение Керра — вращающаяся чёрная дыра. Приятная рифма карты: город неевклидовой геометрии разбирает кривизну настоящего пространства-времени.

43. 43
    Оксфорд 1963

    Теорема об индексе

    Майкл Атья и Изадор Зингер доказывают: разность между числом решений эллиптического уравнения и числом условий его разрешимости зависит только от формы пространства, а не от самого уравнения. Теорема соединила анализ, топологию и геометрию — и через пятнадцать лет оказалась языком, на котором физики говорят об аномалиях.

44. 44
    Оксфорд статья — 1974, колонка Гарднера — январь 1977

    Пенроуз: две плитки

    Двадцати тысяч плиток Бергера хватало, чтобы задача считалась решённой; Робинсон свёл набор к шести, Пенроуз — к двум. «Змей» и «дротик» замощают плоскость бесконечным числом способов и ни одним периодическим, а отношение их количеств в любом замощении равно золотому сечению.

45. 45
    Принстон конец 1970-х — 1982

    Геометризация Тёрстона

    Восемь геометрий, на которые распадается трёхмерный мир, — программа, которую закроет Перельман

    Всякое трёхмерное многообразие канонически режется на куски, и каждый кусок несёт одну из восьми геометрий. Гипотеза Пуанкаре оказывается мелким частным случаем. Автор перестроил не только предмет, но и представление о том, что в математике считать результатом.

46. 46
    Эйндховен 1981

    де Брёйн: тень пятимерной решётки

    Почему пятерная симметрия вообще возможна, если на плоскости она запрещена? Потому что паркет Пенроуза — не плоская конструкция, а проекция: возьмите обычную периодическую решётку в пяти измерениях, разрежьте наклонной плоскостью и спроецируйте. Периодичность теряется при проекции, симметрия остаётся.

47. 47
    Оксфорд 1982

    Экзотические ℝ⁴

    Саймон Дональдсон применяет уравнения Янга — Миллса к чистой топологии и доказывает жёсткое ограничение на гладкие четырёхмерные многообразия. В соединении с результатом Фридмана отсюда следует поразительное: на $\mathbb{R}^{n}$ гладкая структура единственна при всех $n$, кроме $n=4$, — а при $n=4$ их континуум.

48. 48
    Гейтерсберг наблюдение — 8 апреля 1982, публикация — ноябрь 1984

    Шехтман: запрещённая симметрия в металле

    8 апреля 1982 года дифракция быстро охлаждённого сплава алюминия с марганцем даёт картину с десятью лучами — симметрию, которую список Фёдорова запрещает. Два года статью отказываются печатать, Полинг говорит о «квазиучёных». В 1992-м Международный союз кристаллографии меняет определение кристалла, в 2011-м Шехтман получает Нобелевскую премию по химии.

49. 49
    Санкт-Петербург 2002–2003

    Гипотеза Пуанкаре доказана

    Григорий Перельман тремя препринтами закрывает гипотезу Пуанкаре и более общую гипотезу геометризации Тёрстона. Метод — риччиев поток с хирургией: метрика эволюционирует так, чтобы кривизна выравнивалась, а возникающие особенности вырезаются. Топологическая задача решена средствами геометрии и анализа. Все премии отклонены.

50. 50
    Бридлингтон препринт — 20 марта 2023, «спектр» — 28 мая 2023

    «Шляпа»: один-единственный эйнштейн

    Шестьдесят лет спрашивали, хватит ли одной-единственной плитки. В марте 2023 года отставной печатник из Йоркшира, вырезая фигуры из бумаги на кухонном столе, находит тринадцатиугольник, который замощает плоскость — и только непериодически. Через два месяца та же четвёрка авторов убирает и последнюю оговорку.