Эшер и Коксетер: художник, которому не хватило плоскости

Двоечник

Мауриц Корнелис Эшер, ноябрь 1971 года — за несколько месяцев до смерти. Снимок Ханса ПетерсаHans Peters for Anefo · CC0

Мауриц Корнелис Эшер (1898–1972) учился плохо. По математике он не получал проходного балла ни разу, второй год оставался дважды, аттестат так и не получил. Отец хотел, чтобы сын стал архитектором; в архитектурной школе преподаватель довольно быстро сказал, что мальчику надо заниматься графикой.

В 1922 году он впервые приехал в Альгамбру и был потрясён, но тогда почти ничего не зарисовал. Решающей стала вторая поездка — 1936 год, вместе с женой Йеттой; они провели несколько дней, копируя узоры со стен. Эшер потом говорил, что это была самая богатая находка его жизни.

Домой он вернулся с вопросом: как устроено то, что он срисовал?

Восемнадцать лет самодеятельности

Вопрос он задал брату — Беренду Эшеру, профессору геологии в Лейдене. Тот, разбираясь в кристаллографии, прислал в 1937 году список литературы, а из него оказалась полезной одна статья: Дьёрдь Пойа, «Об аналогии кристаллической симметрии на плоскости» (1924). В ней были все семнадцать групп с картинками.

Эшер не понял ни одного доказательства — он читал только рисунки. И дальше произошло вот что: он выстроил собственную систему классификации, ни на что не похожую, со своими обозначениями и своими правилами, и записал её в тетради, которые сегодня опубликованы. Система работала. Ею он пользовался следующие тридцать лет, конструируя «регулярные разбиения плоскости» с ящерицами, птицами, рыбами и всадниками.

Математик, глядя на эти тетради, узнаёт теорию групп, изложенную человеком, который слова «группа» не знает.

Позже Эшер скажет фразу, которую любят цитировать: он никогда не получал по математике проходного балла, а забавно то, что оказался, по-видимому, ближе к ней, чем думал.

Сентябрь 1954-го

Гарольд Скотт Макдональд Коксетер, 1970. Тот самый «спаситель геометрии», зашедший на выставку в Городском музееKonrad Jacobs, Erlangen · CC BY-SA 2.0 de

Со 2 по 9 сентября 1954 года в Амстердаме проходил Международный конгресс математиков. К конгрессу в Городском музее устроили выставку Эшера — специально для съехавшихся математиков.

Среди посетителей был канадец Гарольд Скотт Макдональд Коксетер (1907–2003) — человек, которого называли «спасителем геометрии»: в эпоху, когда всё уходило в алгебру, он продолжал заниматься многогранниками, симметриями и правильными фигурами, и его группы отражений сегодня носят его имя.

Коксетер и Эшер познакомились и стали переписываться.

Чертёж, изменивший всё

К 1950-м Эшер упёрся в границу, которую сам сформулировал как художественную задачу. Ему хотелось изобразить бесконечность в конечном куске бумаги — так, чтобы фигуры не обрывались краем листа, а уменьшались, приближаясь к нему, и укладывались в бесконечное количество.

Круг Пуанкаре: треугольники, которые к краю кажутся всё мельче, а на самом деле все одинаковы. Коксетер прислал Эшеру другой чертёж, но устроен он был так жеMurdock Grewar · CC BY-SA 4.0

На обычной плоскости это невозможно: семнадцать типов узора — это семнадцать способов повторяться, и все они повторяются одинаковыми фигурами.

В 1957 году Коксетер послал Эшеру оттиск своей статьи «Crystal symmetry and its generalizations». На одном из рисунков там была изображена мозаика в круге: треугольники, уменьшающиеся к границе и никогда её не достигающие.

Это была модель Пуанкаре плоскости Лобачевского — круг, внутри которого расстояния измеряются так, что край бесконечно далёк. Треугольники на рисунке одинаковы: они кажутся мельчающими только глазу, привыкшему к евклидовой линейке.

Эшер писал, что рисунок его буквально ошеломил. Через год вышла гравюра «Circle Limit I», за ней вторая, третья и четвёртая — та самая с ангелами и демонами.

Точность, которой не должно было быть

Отдельная история связана с «Circle Limit III» (1959) — гравюрой с рыбами, плывущими по белым дугам.

Коксетер разобрал её математически и обнаружил странность: белые дуги пересекают граничную окружность не под прямым углом, а под углом около $80^\circ$. Значит, это не прямые плоскости Лобачевского — прямые в модели Пуанкаре подходят к границе строго перпендикулярно. Это так называемые эквидистанты — линии, все точки которых равноудалены от некоторой прямой.

Эшер про эквидистанты не знал и знать не мог. Он строил гравюру, добиваясь, чтобы рыбы шли ровными вереницами, — и получил кривые, которые математика описывает точной формулой. Коксетер вычислил угол и опубликовал разбор в 1996 году, через двадцать четыре года после смерти Эшера: гравюра оказалась математически безупречной.

Эшер, кстати, коксетеровских объяснений так и не понял и в письмах жаловался на «птичий язык» математиков. Понимание, о котором писал Тёрстон, бывает и таким: без единого доказательства, зато точным до градуса.

Зачем это в нити

Эшер здесь не для украшения. Он — единственный участник сюжета, который дошёл до края списка изнутри, практикой, не зная, что список существует. Ремесленники Альгамбры сделали то же, но не оставили свидетельств о том, как думали; Эшер оставил тетради.

И упёршись в границу, он сделал ровно то, что делает математик: сменил плоскость. Периодических узоров на евклидовой плоскости семнадцать; на плоскости Лобачевского — бесконечно много, потому что там правильными многоугольниками можно замостить как угодно, хоть семиугольниками. Ограничение, которое казалось свойством узоров, оказалось свойством пространства.

Задача для класса

На плоскости Лобачевского сумма углов треугольника меньше $180^\circ$, и правильным $n$-угольником с углом $\alpha$ можно замостить плоскость, если в вершине сходится целое число таких углов: $k\alpha = 360^\circ$.

а) Вспомните, почему на евклидовой плоскости такое возможно только при $n = 3, 4, 6$ (см. Прокла).
б) На плоскости Лобачевского угол правильного $n$-угольника можно сделать любым от $0$ до $\dfrac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$, меняя размер многоугольника: чем больше многоугольник, тем меньше углы. Покажите, что тогда мозаика $\{n, k\}$ существует при любых $n$ и $k$, для которых
$$\frac1n + \frac1k < \frac12.$$
в) Проверьте, что евклидов случай — это в точности равенство $\frac1n+\frac1k=\frac12$, а сферический — знак «больше». Выпишите все решения со знаком «больше»: их окажется пять, и это правильные многогранники.

Следующая точка: Кембридж — где докажут, что любая геометрия, как бы причудливо она ни была искривлена, целиком помещается в обычное евклидово пространство достаточно большой размерности.