Прокл: почему правильных паркетов ровно три

Вопрос, который задаёт себе каждый, у кого в руках плитка

Возьмём одинаковые правильные многоугольники — все треугольники, или все квадраты, или все пятиугольники — и попробуем замостить ими плоскость без щелей и наложений, укладывая сторону к стороне.

С треугольниками получается. С квадратами получается — так выложена половина ванных комнат мира. С шестиугольниками получается, и это знают пчёлы.

С пятиугольниками не получается никогда, и это не вопрос сноровки. Это запрет.

Доказательство в три строки

Всё держится на одном подсчёте. Пусть в вершине сходятся $k$ плиток, каждая — правильный $n$-угольник. Внутренний угол такого многоугольника равен

$$\alpha_n = \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n},$$

а углы в вершине должны сложиться ровно в полный оборот:

$$k\cdot\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n} = 360^\circ.$$

Сократим на $180^\circ$ и умножим на $n$: $k(n-2) = 2n$. Перенесём всё влево и прибавим к обеим частям четвёрку:

$$(k-2)(n-2) = 4.$$

Дальше считать нечего — надо перебрать. Оба множителя целые и положительные (плиток в вершине не меньше трёх, сторон у многоугольника не меньше трёх), а четвёрку на два таких множителя раскладывают ровно тремя способами:

Три решения — три паркета. Больше взяться неоткуда.

Пятиугольник не проходит по той же причине, по какой не проходят семиугольник, восьмиугольник и все остальные: $\alpha_5 = 108^\circ$, а $360 : 108 = 3\tfrac13$ — не целое. Три пятиугольника оставляют щель в $36^\circ$, четыре не помещаются.

Что здесь на самом деле доказано

Стоит остановиться на секунду: это не «мы попробовали и не вышло». Это полный перебор — доказано, что других возможностей нет, потому что уравнение $(k-2)(n-2)=4$ других решений не имеет.

Такой ход мысли — перечислить все случаи и закрыть список — станет главным приёмом всего сюжета. Прокл закрывает список из трёх; КеплерИоганн Кеплернемецкий астроном и математик · 1571–1630Вывел законы движения планет из чужих наблюдений, посчитал объём винной бочки способом, из которого через полвека вырастет интеграл, и защищал мать на процессе о колдовстве. — из одиннадцати; Фёдоров — из семнадцати и двухсот тридцати; Бибербах докажет, что список конечен в любом числе измерений. А потом окажется, что один список закрыть нельзя в принципе, и это тоже теорема.

Кто это сказал

Здесь нужна осторожность.

Прокл Диадох (412–485) возглавлял платоновскую Академию в Афинах — ту самую, которую через полвека закроет император Юстиниан. Его «Комментарий к первой книге „Начал“ ЕвклидаЕвклидгреческий математик · около 300 года до н. э.Автор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего.» — один из главных источников по ранней греческой математике: почти всё, что мы знаем о Фалесе и о ранних пифагорейцах, известно через такие поздние пересказы.

Про три паркета Прокл пишет, что это знали пифагорейцы. Но между Пифагором и Проклом — девять веков. Столько же отделяет нас от Ярослава Мудрого. Свидетельство это, разумеется, ценное, но прямым его назвать нельзя, и историки к таким атрибуциям относятся сдержанно.

Что можно сказать твёрдо: к V веку факт был известен, записан и понимался именно как исчерпывающий перечень, а не как список примеров.

Если ослабить условие

Требование «все плитки одинаковые» довольно жёсткое. Ослабим его: пусть многоугольники по-прежнему правильные, но разные, а вершины все устроены одинаково — в каждой сходится один и тот же набор в одном и том же порядке.

Тогда паркетов становится одиннадцать. Первым их все перечислит Кеплер — через двенадцать веков после Прокла.

Следующая точка: Гургандж — где сложится круг, из которого выйдет и новая тригонометрия, и новая осада пятого постулата.