«Шляпа»: один-единственный эйнштейн

Счёт, который шёл вниз

Проследим числа подряд, потому что в них вся история.

20 426 — набор Бергера, 1964. 104 — он же, два года спустя. 6 — Рафаэль РобинсонРафаэль Робинсонамериканский математик и логик · 1911–1995Свёл набор плиток, замощающих плоскость только непериодически, со ста четырёх до шести — и заодно доказал, что для парадокса Банаха — Тарского хватает пяти кусков., 1971. 2 — Пенроуз, 1974.

И на двойке всё остановилось на полвека.

Вопрос, оставшийся открытым, назвали задачей об эйнштейне. Название — каламбур: по-немецки ein Stein значит «один камень», и придуман он был задолго до того, как решение нашлось.

Задача об эйнштейне. Существует ли одна-единственная плитка, которой можно замостить плоскость, но только непериодически?

Полвека никто не знал даже, в какую сторону ждать ответа. Были частичные результаты: в 2010 году Джоан Тейлор и Джошуа Соколар предъявили одну плитку, но либо несвязную (из двух отдельных кусков), либо требующую дополнительных правил стыковки, не сводящихся к форме. Это считали «плиткой с половиной».

Кухонный стол в Бридлингтоне

Дэвид Смит живёт в Бридлингтоне — небольшом городе на побережье Восточного Йоркшира. По профессии он печатник, к 2022 году уже на пенсии. Математического образования у него нет никакого.

Своё занятие он называл возиться с формами: вырезал многоугольники из картона, складывал их на столе, фотографировал, пробовал снова. Работал он и в программе PolyForm Puzzle Solver, которой пользуются любители подобных головоломок.

В ноябре 2022 года он вырезал фигуру из восьми «змеев» — тех самых, на которые разбивается паркет 3.4.6.4. Получился тринадцатиугольник, похожий на шляпу или на футболку. Смит начал укладывать копии на стол и заметил, что фигура кладётся охотно, а узор всё не начинает повторяться.

Он написал Крейгу Каплану, специалисту по компьютерной геометрии из Университета Ватерлоо. Тот запустил свою программу и получил ответ: фигура замощает плоскость сколь угодно далеко, а периодичности не видно.

К работе подключились Джозеф Сэмюэл Майерс — комбинаторщик и программист из Кембриджа — и Хаим Гудман-Штраус из Университета Арканзаса, специалист как раз по замощениям.

К марту доказательство было готово. Препринт «Апериодическая плитка» вышел 20 марта 2023 года.

Как это доказано

Доказательств оказалось два, и оба поучительны.

Первое — компьютерное, в духе четырёх красок: показывается, что «шляпы» неизбежно собираются в кластеры, кластеры — в кластеры кластеров, и эта иерархия та же, что у Робинсона, только для одной плитки. Перебор случаев велик, и без машины его не сделать.

Второе, придуманное Майерсом, — человеческое и красивее. «Шляпа» оказалась не одинокой находкой, а членом непрерывного семейства: обозначим через $\mathrm{Tile}(a,b)$ фигуру, у которой стороны двух сортов имеют длины $a$ и $b$. «Шляпа» — это $\mathrm{Tile}(1,\sqrt3)$, а $\mathrm{Tile}(\sqrt3,1)$ — другая фигура, прозванная «черепахой». На двух концах семейства, при $a=0$ и $b=0$, плитки замощают плоскость периодически — и двумя разными способами.

Майерс показал, что эти два периодических замощения несовместимы: любая попытка уложить промежуточную плитку вынуждена подражать обоим сразу, а сделать это без того, чтобы узор поехал, невозможно. Апериодичность выводится из противоречия между двумя крайними случаями. Ни одного перебора.

Оговорка и её снятие

У результата была шероховатость. «Шляпа» замощает плоскость только если разрешить пользоваться и её зеркальным отражением. Плиток по-прежнему одна, но переворачивать её приходится — и часть математиков говорила, что честнее считать это полутора плитками.

Через два месяца, 28 мая 2023 года, та же четвёрка выложила вторую работу. Слегка изменив стороны «шляпы» — заменив прямые отрезки на ломаные, — они получили фигуру, у которой зеркальная копия просто не подходит ни к чему. Плитку назвали спектром (spectre).

Спектр замощает плоскость, только непериодически, и только сам собой, без отражений. Задача об эйнштейне закрыта полностью.

Что здесь стоит заметить учителю

Три вещи.

Задачу закрыл любитель. Не «любитель при поддержке профессионалов» в смысле вежливой формулировки: главную находку сделал Дэвид Смит, вырезая картон. Профессионалы доказали, что находка работает, и в списке авторов он стоит первым. Задача такого рода — редкая: она не требует аппарата, она требует упорства и глаза.

Инструмент — ножницы и программа. Смит пользовался бесплатной программой для головоломок и бумагой. Между ним и работой в Nature News не было ни лаборатории, ни гранта, ни диплома.

Это очень свежо. Самая поздняя точка на всей нашей карте. Ученик, который сегодня в восьмом классе, был жив и ходил в школу, когда это произошло.

Куда всё пришло

Оглянемся на весь путь. Прокл закрыл список из трёх узоров; Кеплер — из одиннадцати; Фёдоров — из семнадцати и двухсот тридцати; Бибербах доказал, что список конечен в любом измерении. Потом Бергер показал, что один список закрыть нельзя в принципе, — и из этого невозможного вывелись паркеты Пенроуза, которые оказались устройством настоящего вещества.

Начиналось всё с вопроса, который задаёт ребёнок, разглядывая кафель: а пятиугольниками можно?

Нельзя. И вот что из этого вышло.