Карта → событие
Кеплер: первая опись паркетов
Книга, ради которой писались законы движения планет
«Harmonices Mundi» — «Гармония мира», 1619 год, Линц. Именно здесь напечатан третий закон Кеплера: квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей. Но сам Кеплер считал главным не это.
Замысел книги — показать, что мир устроен по музыкальным пропорциям, и что те же пропорции лежат в основании геометрии. Пять книг: о правильных фигурах, об их сочетаниях, о музыкальных созвучиях, об астрологии, о движении планет. Третий закон появляется в пятой книге как частность внутри общей гармонии.
Нас интересует вторая книга — De congruentia figurarum harmonicarum, «О сочетании гармонических фигур». Слово congruentia Кеплер употребляет в смысле «прилаживание»: как фигуры прикладываются друг к другу без щелей.
Тот же человек за четыре года до этого в том же Линце считал объёмы винных бочек способом, из которого потом вырастет интегральное исчисление, а ещё раньше, в Праге, написал новогодний подарок «О шестиугольных снежинках» — первый в истории текст, где форму природного тела пытаются объяснить укладкой одинаковых частиц.
Что он сделал
Кеплер взял вопрос Прокла и снял ограничение «все плитки одинаковые».
Пусть плитки — по-прежнему правильные многоугольники, но разных видов; потребуем только, чтобы все вершины были устроены одинаково: в каждой сходится один и тот же набор фигур в одном и том же круговом порядке. Такие паркеты называют однородными.
Кеплер перечислил их все. Их одиннадцать: три «прокловых» из одинаковых плиток и восемь смешанных. Обозначают их списком многоугольников вокруг вершины:
$$3.3.3.3.3.3,\quad 4.4.4.4,\quad 6.6.6,$$
$$3.4.6.4,\quad 3.6.3.6,\quad 3.12.12,\quad 4.6.12,\quad 4.8.8,\quad 3.3.3.4.4,\quad 3.3.4.3.4,\quad 3.3.3.3.6.$$
Полный список, и Кеплер понимал, что он полный. Никто до него такого перебора не делал; следующий раз всерьёз к этой задаче вернутся только в XIX веке.
Почему список именно такой
Сначала перебираются наборы углов, дающие в сумме $360^\circ$, — таких наборов семнадцать. Затем каждый проверяется на то, можно ли уложить его во всех вершинах сразу: шесть наборов отсеиваются, потому что стыковка соседних вершин требует другого набора. Остаётся одиннадцать. Первый шаг — арифметика уровня восьмого класса; второй — аккуратный разбор случаев, где легко ошибиться, и именно на нём спотыкались позднейшие авторы.
Дальше Кеплер пошёл ещё на шаг: разрешил звёздчатые многоугольники — пентаграммы, звёздчатые десятиугольники — и построил паркеты с ними. Это уже совсем не школьная территория.
Узор Aa
Среди рисунков второй книги есть один, помеченный буквами Aa, и на нём стоит остановиться.
Кеплер выкладывает узор из правильных пятиугольников, пентаграмм, десятиугольников и «сдвоенных десятиугольников» — фигур, которые он сам называет чудищами (monstra). Пятерная симметрия при этом сохраняется, а периода у картинки нет.
Кеплер не мог продолжить узор до бесконечности и, судя по тексту, считал, что при должном старании он всё же замкнётся в правильный повторяющийся рисунок. Он ошибался: узор такого типа не замыкается никогда.
Сегодня в Aa видят прямое предвестие паркетов Пенроуза — настолько прямое, что современные авторы восстановили правило, по которому Кеплер, по-видимому, его строил, и получили квазипериодическое покрытие. От 1619 года до 1974-го прошло триста пятьдесят пять лет.
Чем эта точка важна для сюжета
Тремя вещами.
Опись как жанр. Кеплер первым обращается с замощениями как естествоиспытатель: не «вот красивый узор», а «вот все узоры такого рода, я проверил». До него математика перечисляла правильные многогранники (их пять, это в «Началах»), но не плоские узоры.
Пятёрка снова упирается. Кеплер отлично знал, что пятиугольниками плоскость не замостить. Он попробовал обойти запрет, добавив другие фигуры, — и получил нечто, что не является ни паркетом из пятиугольников, ни периодическим узором. Ровно в эту щель через три с половиной века войдёт ПенроузРоджер ПенроузСвёл непериодическое замощение плоскости к двум плиткам, доказал теорему о неизбежности сингулярности в общей теории относительности и получил за неё Нобелевскую премию — через пятьдесят пять лет..
Связь с веществом. «О шестиугольных снежинках» и вопрос об укладке шаров, поставленный там же, — начало мысли, что форма вещества определяется тем, как укладываются одинаковые части. Через двести семьдесят лет это станет кристаллографией, а в 1982 году именно она получит удар, от которого придётся менять определения.
Задача для класса
Проверьте, что список Кеплера не может быть длиннее, чем он есть, — хотя бы частично.
а) Найдите все наборы правильных многоугольников, углы которых в сумме дают ровно $360^\circ$, если многоугольников в наборе ровно три. (Подсказка: если это $n$-, $m$- и $k$-угольники, то $\frac1n+\frac1m+\frac1k=\frac12$.)
б) Среди найденных наборов есть 3.7.42 — треугольник, семиугольник и сорокадвуугольник. Углы сходятся идеально. Почему паркета всё-таки не выйдет?
Указание к б): посмотрите на вершины самого семиугольника. Обойдите его по кругу и проследите, что должно стоять в каждой следующей вершине.
Следующая точка: Лейден — где у точки появятся координаты и геометрия перестанет зависеть от того, что можно начертить.