Пенроуз: две плитки

Физик, которому было интересно

Роджер Пенроуз (род. 1931) к 1974 году был профессором математики в Оксфорде и занимался общей теорией относительности: сингулярности, чёрные дыры, спиноры. Через сорок шесть лет он получит за это Нобелевскую премию по физике.

Замощениями он занялся между делом. Статья, где впервые появляются его наборы, называется «Роль эстетики в чистом и прикладном математическом исследовании» и напечатана в бюллетене Института математики и её приложений — то есть в издании, которое серьёзным журналом не считается. Пенроуз рассказывал, что складывал плитки из картона на кухонном столе.

Первый набор (его называют P1) состоял из шести плиток: пятиугольники трёх сортов, пятиконечная звезда, «лодочка» и ромб. Затем Пенроуз нашёл наборы из двух.

Змей и дротик

Самый известный набор (P2) устроен так. Возьмём ромб с углами $72^\circ$ и $108^\circ$ и разрежем его по длинной диагонали, но не пополам, а в отношении золотого сечения

$$\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1{,}618.$$

Получатся две фигуры: выпуклый четырёхугольник с углами $72^\circ, 72^\circ, 72^\circ, 144^\circ$ — его называют змеем — и невыпуклый с углами $36^\circ, 72^\circ, 36^\circ$ и входящим углом $216^\circ$ — дротик.

Второй набор (P3) ещё проще: два ромба со стороной 1, «толстый» с углами $72^\circ$ и $108^\circ$ и «тонкий» с углами $36^\circ$ и $144^\circ$.

И вот тут — самое важное место, которое часто пропускают.

Сами по себе эти плитки замощают плоскость периодически. Два ромба легко уложить скучными рядами. Апериодичность возникает не из формы, а из правил стыковки: на плитки наносят дуги двух цветов и требуют, чтобы дуги продолжались через границы. Или — что то же самое — выпиливают на сторонах шипы и пазы, так что запрещённые стыки становятся физически невозможными.

С правилами стыковки набор замощает плоскость — и ни одно из замощений не периодично.

Что известно про эти замощения

Свойства у них такие, что их стоит перечислить подряд: каждое по отдельности неочевидно.

Замощений бесконечно много, причём несчётно много — их столько же, сколько точек на прямой.

Все они локально неразличимы. Любой конечный кусок, встречающийся в одном замощении, встречается во всех остальных, и притом бесконечно много раз. Разглядывая любой сколь угодно большой участок, невозможно определить, в каком именно замощении вы находитесь.

Частоты постоянны. Доля змеев среди всех плиток одна и та же во всех замощениях, и отношение числа змеев к числу дротиков равно золотому сечению $\varphi$. Для ромбов то же самое: толстых больше тонких ровно в $\varphi$ раз. Число иррациональное — и вот вам ещё одно доказательство непериодичности: в периодическом узоре это отношение обязано быть рациональным, потому что достаточно сосчитать плитки в одной ячейке.

Есть раздувание. Каждое замощение можно разрезать по правилу на плитки в $\varphi$ раз меньше — и получить снова пенроузовское замощение. Или наоборот, склеить в $\varphi$ раз бóльшие. Иерархия уходит в обе стороны бесконечно; это тот же приём, что в исфаханском гирихе.

Пятерная симметрия есть — но только в одной точке. У замощения может быть центр поворота на $72^\circ$, но не больше одного. Фёдоровский запрет не нарушен: он запрещает пятерную симметрию решётке, а решётки здесь нет.

Как об этом узнал мир

В январе 1977 года Мартин Гарднер посвятил паркетам Пенроуза свою колонку «Математические игры» в Scientific American. Колонку читали сотни тысяч человек, и это тот случай, когда популяризатор сделал для судьбы открытия больше, чем журнал.

Именно из гарднеровской колонки о паркетах узнали физики — что окажется решающим через пять лет.

Отдельный сюжет: в 1979 году Пенроуз запатентовал свои плитки как головоломку. В 1997-м компания Kimberly-Clark выпустила туалетную бумагу с тиснением пенроузовского узора — тиснение непериодическое, чтобы слои не слипались в стопке. Пенроуз подал в суд. Дело уладили миром, но фраза из заявления его фирмы разошлась широко: британцы, кто бы и как бы ни относился к их традициям, не потерпят, чтобы их принуждали пользоваться туалетной бумагой, на которой без разрешения оттиснута работа сэра Роджера Пенроуза.

Почему всё-таки золотое сечение

Оно возникает не как украшение, а неизбежно.

Углы всех плиток кратны $36^\circ$ — это углы правильного пятиугольника и пентаграммы. А в пентаграмме отношение диагонали к стороне равно $\varphi$; отсюда золотое сечение просачивается в каждую длину и каждое соотношение. Правило раздувания умножает размеры на $\varphi$, значит, отношение количеств плиток удовлетворяет уравнению

$$x = 1 + \frac1x,$$

у которого положительный корень — снова $\varphi$.

Иррациональность этого числа и есть причина, по которой узор не может замкнуться.

Следующая точка: Принстон — где трёхмерный мир разложат на восемь однородных геометрий и тем поставят задачу для последней точки линии.