Карта → линии → сквозной сюжет

Запрещённая симметрия

какие узоры возможны, а какие нет: от трёх школьных паркетов до Нобелевской премии по химии

Ребёнок, разглядывающий кафель, рано или поздно спрашивает: а пятиугольниками можно? Ответ — нельзя, и он доказывается в три строки: угол правильного пятиугольника равен $108^\circ$, а $360^\circ$ на $108^\circ$ нацело не делятся. Паркетов из одинаковых правильных плиток ровно три — треугольный, квадратный и шестиугольный, — и это записано ещё в античности (Афины, ок. 450).

Из этого школьного запрета вырос сюжет, который занял двадцать два века, задел орнамент, кристаллографию, теорию вычислимости и физику твёрдого тела и закончился Нобелевской премией по химии.

Списки, которые закрывались. Кеплер снимает требование «все плитки одинаковые» и впервые перебирает возможности систематически: однородных паркетов одиннадцать (Линц, 1619). Гранадские мастера и исфаханские каменщики тем временем перебирают узоры руками, не зная, что перебирают конечный список (XIV–XV вв.). Список закрывает Фёдоров: типов повторяющегося узора на плоскости ровно семнадцать, а способов быть кристаллом — двести тридцать (Петербург, 1891). Оттуда же следует и обобщение детского запрета: никакая решётка не может иметь пятерной симметрии, ни на плоскости, ни в пространстве. Гильберт спрашивает, конечен ли список в любом числе измерений; Бибербах отвечает «да» (Кёнигсберг, 1910).

Перелом. В 1961 году логик Ван Хао сводит кусок проблемы разрешения к задаче о плитках и предполагает: набор, замостивший плоскость, замостит её и периодически. Его аспирант доказывает обратное — и заодно, что алгоритма для задачи о плитках не существует вовсе (Кембридж, 1966). Отсюда логически следует то, чего никто не искал: апериодические наборы обязаны существовать, иначе алгоритм был бы. Апериодический паркет — не головоломка, а объект, полученный от противного из теории вычислимости, в одном ряду с десятой проблемой Гильберта.

Две плитки. Двадцать тысяч плиток Бергера сокращаются до шести у Робинсона и до двух у Пенроуза (Оксфорд, 1974). Узор не повторяется никогда, отношение количеств плиток равно золотому сечению, а пятерная симметрия в нём есть — потому что решётки в нём нет и фёдоровский запрет к нему не относится. Де Брёйн объясняет механизм: пенроузовский паркет — проекция обычной периодической решётки из пятимерного пространства, где поворот на $72^\circ$ совершенно законен (Эйндховен, 1981).

Вещество. 8 апреля 1982 года Даниэль Шехтман видит на электронограмме сплава алюминия с марганцем десять резких точек — дальний порядок с запрещённой симметрией. Два года статью не принимают, Полинг говорит о «квазиучёных». Теорема Фёдорова при этом не опровергнута и опровергнута быть не может: ошибочным оказалось не утверждение, а молчаливое допущение, что упорядоченное вещество обязано быть решёткой. В 1992 году Международный союз кристаллографии меняет определение кристалла, в 2011-м Шехтман получает Нобелевскую премию по химии.

Развязка. Счёт плиток шёл вниз полвека: 20 426 → 104 → 6 → 2. В марте 2023 года Дэвид Смит, отставной печатник из Бридлингтона, вырезает из бумаги тринадцатиугольник, который замощает плоскость и только непериодически, — и счёт доходит до единицы.

Стоит удержать в голове две вещи сразу. Первая: почти всё здесь выглядит игрой — орнамент, картонные плитки, головоломка из журнала. Вторая: восемнадцатая проблема Гильберта посвящена ровно этому, неразрешимость задачи домино стоит рядом с теоремой Матиясевича, а определение кристалла переписано под давлением факта, предсказанного игрой за восемь лет до того, как его нашли.

Открыть на карте

1

Афины ок. 450 г.
Прокл: почему правильных паркетов ровно три
Первый запрет: паркетов из одинаковых правильных плиток ровно три, и пятиугольник в список не входит

Комментируя «Начала», Прокл записывает то, что приписывает ещё пифагорейцам: вокруг точки укладываются шесть равносторонних треугольников, четыре квадрата или три шестиугольника — и ничего больше. Правильный пятиугольник не годится: его угол в 108° не делит 360°. Первый в истории запрет на узор.
2

Гранада вторая половина XIV в.
Альгамбра: орнамент как перебор возможностей
Ремесло доходит до предела списка, не подозревая, что список конечен

Мастера насридской Гранады полтора века перебирают способы замостить стену повторяющимся узором — и подходят к границе, о существовании которой не подозревают: таких узоров ровно семнадцать типов, и это теорема. Сколько из них в Альгамбре на самом деле, спорят до сих пор: считали и одиннадцать, и тринадцать.
3

Исфахан 1453
Дарб-и Имам: пять плиток исфаханского гириха
Пять плиток с правилом подразделения — узор без периода за полтысячи лет до Пенроуза

Узор святилища раскладывается на пять размеченных плиток, а покрытие, которое из них складывается, почти не имеет периода. За пятьсот лет до Пенроуза, циркулем и линейкой — и, судя по всему, без всякой теории за спиной.
4

Линц «Harmonices Mundi», книга II — 1619
Кеплер: первая опись паркетов
Первая опись: одиннадцать однородных паркетов, и среди рисунков — узор, который не замкнётся никогда

Во второй книге «Гармонии мира» Кеплер впервые перебирает замощения правильными многоугольниками систематически — как ботаник перебирает виды. Среди его рисунков есть узор «Aa» с пятиугольниками, пентаграммами и десятиугольниками, в котором через триста пятьдесят лет узна́ют предвестие апериодичности.
5

Санкт-Петербург параллелоэдры — 1885, «Симметрия правильных систем фигур» — 1891
Фёдоров: двести тридцать способов быть кристаллом
Список закрыт окончательно: семнадцать узоров на плоскости, двести тридцать в пространстве, пятерной симметрии нет ни одной

Петербургский кристаллограф доказывает, что видов симметрии у решётки конечное число, и выписывает список: семнадцать на плоскости, двести тридцать в пространстве. Список закрыт — восемнадцатого типа обойного узора не существует. Оттуда же следует запрет: пятерной симметрии у кристалла быть не может.
6

Кёнигсберг 1910–1912
Бибербах: восемнадцатая проблема, часть первая
И в любом числе измерений список конечен — первая часть восемнадцатой проблемы Гильберта

Гильберт спросил в 1900 году: конечно ли число кристаллографических групп в пространстве любого числа измерений? Двадцатичетырёхлетний приват-доцент отвечает «да» — и попутно показывает, что всякая такая группа устроена одинаково: решётка переносов с конечной надстройкой над ней.
7

Амстердам конгресс — сентябрь 1954, «Circle Limit I» — 1958
Эшер и Коксетер: художник, которому не хватило плоскости
Художник упирается в тот же список изнутри — и обходит его, сменив плоскость на плоскость Лобачевского

Эшер, не окончивший даже школьного курса математики, восемнадцать лет самостоятельно перебирал те же семнадцать групп — срисовав первые узоры в Альгамбре. На конгрессе математиков в Амстердаме его выставку видит Коксетер, и присланный им через три года чертёж выводит Эшера туда, где узор может уменьшаться бесконечно: в круг Пуанкаре.
8

Кембридж (Массачусетс) гипотеза Ван Хао — 1961, диссертация Бергера — 1964, мемуар — 1966
Ван Хао и Бергер: задача домино неразрешима
Перелом: замостят или нет — вопрос без алгоритма, и отсюда логически следует существование апериодических наборов

Ван Хао свёл кусок логики к задаче о плитках и предположил: если набор замощает плоскость, то замощает и периодически. Его аспирант доказал обратное — построил набор из 20 426 плиток, замощающий плоскость и никогда не повторяющийся, и вывел отсюда, что алгоритма для распознавания замощаемости не существует. Апериодические паркеты родились как побочный продукт теоремы о неразрешимости.
9

Оксфорд статья — 1974, колонка Гарднера — январь 1977
Пенроуз: две плитки
Двух плиток достаточно: порядок без периода, а отношение их количеств — золотое сечение

Двадцати тысяч плиток Бергера хватало, чтобы задача считалась решённой; Робинсон свёл набор к шести, Пенроуз — к двум. «Змей» и «дротик» замощают плоскость бесконечным числом способов и ни одним периодическим, а отношение их количеств в любом замощении равно золотому сечению.
10

Эйндховен 1981
де Брёйн: тень пятимерной решётки
Объяснение: пятерная симметрия разрешена в пяти измерениях, а узор на плоскости — её тень

Почему пятерная симметрия вообще возможна, если на плоскости она запрещена? Потому что паркет Пенроуза — не плоская конструкция, а проекция: возьмите обычную периодическую решётку в пяти измерениях, разрежьте наклонной плоскостью и спроецируйте. Периодичность теряется при проекции, симметрия остаётся.
11

Гейтерсберг наблюдение — 8 апреля 1982, публикация — ноябрь 1984
Шехтман: запрещённая симметрия в металле
Запрещённая симметрия найдена в веществе; теорема устояла, а определение кристалла пришлось переписать

8 апреля 1982 года дифракция быстро охлаждённого сплава алюминия с марганцем даёт картину с десятью лучами — симметрию, которую список Фёдорова запрещает. Два года статью отказываются печатать, Полинг говорит о «квазиучёных». В 1992-м Международный союз кристаллографии меняет определение кристалла, в 2011-м Шехтман получает Нобелевскую премию по химии.
12

Бридлингтон препринт — 20 марта 2023, «спектр» — 28 мая 2023
«Шляпа»: один-единственный эйнштейн
Развязка: хватает одной плитки. Задачу закрыл в 2023 году отставной печатник без математического образования

Шестьдесят лет спрашивали, хватит ли одной-единственной плитки. В марте 2023 года отставной печатник из Йоркшира, вырезая фигуры из бумаги на кухонном столе, находит тринадцатиугольник, который замощает плоскость — и только непериодически. Через два месяца та же четвёрка авторов убирает и последнюю оговорку.