Карта → событие
Дарб-и Имам: пять плиток исфаханского гириха
Гирих
Персидское слово гирих значит «узел». Так называют геометрический орнамент из переплетающихся ломаных линий, который с XII века покрывает мечети, медресе и мавзолеи от Марокко до Средней Азии.
На первый взгляд гирих — это чертёж циркулем и линейкой: сетка вспомогательных окружностей, по ней строится звезда, от звезды идут лучи. Так его и объясняли в европейской литературе долгое время.
Но есть свидетельство, что работали иначе. Сохранился свиток из Топкапы — персидский альбом рабочих чертежей конца XV века, где узоры даны не построением, а готовыми блоками: набором форм, из которых узор складывается, как из плиток.
Таких форм пять:
- правильный десятиугольник,
- правильный пятиугольник,
- ромб с углами $72^\circ$ и $108^\circ$,
- вытянутый шестиугольник («галстук-бабочка»),
- шестиугольник с углами $72^\circ$, $144^\circ$, $144^\circ$, $72^\circ$, $144^\circ$, $144^\circ$.
Все стороны у всех пяти одинаковой длины, все углы кратны $36^\circ$. На каждой плитке заранее прочерчены линии: они выходят из середин сторон под одним и тем же углом. Когда плитки стыкуются, линии на границе продолжают друг друга — и швов между плитками не видно, виден только непрерывный узор. Плитка — строительные леса; после сборки её убирают.
Что нашли в Исфахане
Святилище Дарб-и Имам построено в Исфахане в 1453 году. На одном из его порталов узор устроен так, что заслуживает отдельного разговора.
В 2007 году Питер Лу и Пол Стейнхардт опубликовали в Science разбор этого узора. Они показали: там наложены два гириха — крупный и мелкий, и мелкий получается из крупного по правилу подразделения. Каждая большая плитка разрезается на маленькие того же набора; масштаб при этом уменьшается примерно в четыре раза с небольшим.
Отсюда следствие, ради которого сюжет здесь и стоит.
Правило подразделения можно применять снова и снова. Узор, который получается в пределе, периодическим не будет никогда: сдвиг, совмещающий его с собой, потребовал бы, чтобы совпали и все уровни подразделения сразу, а они не совпадают. Такие покрытия называют квазипериодическими — они не повторяются, но любой их кусок встречается бесконечно много раз, и притом с определённой частотой.
Лу и Стейнхардт проверили: узор Дарб-и Имам действительно почти совпадает с пенроузовским — на фрагменте примерно из 3700 плиток нашлось около десятка мест, где мастера отступили от правила. Это уровень точности хорошего ремесла, а не случайное совпадение.
Чего этот сюжет не говорит
Дальше начинается место, где легко сказать лишнее, и лучше не надо.
Из работы Лу и Стейнхардта не следует, что исфаханские мастера открыли квазипериодические замощения. Не следует, что они понимали, что делают, в том смысле, в каком это понимал ПенроузРоджер ПенроузСвёл непериодическое замощение плоскости к двум плиткам, доказал теорему о неизбежности сингулярности в общей теории относительности и получил за неё Нобелевскую премию — через пятьдесят пять лет.. Не следует даже, что они сознательно строили непериодический узор, — большинство гирихов вполне периодичны.
Следует ровно одно: набор из пяти плиток с правилом подразделения — инструмент, позволяющий строить квазипериодические узоры, и в 1453 году в Исфахане им пользовались. Мастера получили в руки правильный инструмент и применили его правильно. Что они при этом думали, мы не знаем и знать не можем.
Работа Лу и Стейнхардта вызвала возражения историков искусства — и главным было именно это: не стоит вычитывать в средневековом ремесле современную теорию. Возражение справедливое; за вычетом его результат остаётся.
Почему это здесь
Сюжет стоит в нити не как курьёз, а как точная иллюстрация к главному вопросу.
Периодический узор — не единственный способ покрыть плоскость упорядоченно. Есть промежуточное состояние: порядок без повторения. Пятёрка, запрещённая для периодических узоров, здесь разрешена — потому что периодичности нет.
Европейская математика доберётся до этой мысли в 1960-е, и придёт к ней не от красоты, а от теоремы о неразрешимости.
Задача для класса
Возьмите ромб с углами $72^\circ$ и $108^\circ$ и правильный пятиугольник с той же стороной.
а) Покажите, что вокруг одной точки можно уложить пять таких ромбов острыми углами внутрь.
б) Покажите, что тремя пятиугольниками полный оборот не закрыть, а щель между ними — ровно $36^\circ$.
в) Убедитесь, что все углы всех пяти гирих-плиток кратны $36^\circ$. Почему это обязательное условие, чтобы плитки стыковались друг с другом любыми сторонами?
Следующая точка: Линц — где паркеты впервые опишут так, как ботаник описывает виды: подряд и до конца.