Бибербах: восемнадцатая проблема, часть первая

Восемнадцатая проблема

В списке 1900 года восемнадцатая проблема называется «Построение пространства из конгруэнтных многогранников» и состоит из трёх отдельных вопросов. Все три — про замощения, и стоит выписать их подряд, потому что вместе они очерчивают ровно ту область, о которой идёт речь в этой нити.

Первый. Фёдоров нашёл 230 групп в трёхмерном пространстве. А в четырёхмерном? В стомерном? Конечно ли их число в каждой размерности — или начиная с какой-то размерности групп бесконечно много?

Второй. Бывает ли многогранник, который замощает пространство, но не является фундаментальной областью никакой группы движений? Иначе говоря: обязательно ли за красивой укладкой стоит симметрия?

Третий. Как плотнее всего уложить в пространстве одинаковые шары?

Первый вопрос закрыл Бибербах в 1910–1912 годах; второй — Рейнхардт в 1928-м (для пространства) и Хеш в 1935-м (для плоскости), и ответ оказался «бывает»; третий — гипотеза Кеплера — продержался до 1998 года.

Гильберт, составляя список, поместил замощения между теорией функций и вариационным исчислением, ни на секунду не задумавшись, математика ли это.

Ответ

Йена, октябрь 1930 года: Отто Хаупт, Георг Файгль и Людвиг Бибербах (справа). До 1933-го, после которого о Бибербахе придётся говорить иначеGFHund · CC BY 3.0

Людвиг Бибербах (1886–1982) защитился в Гёттингене в 1910-м и в том же году стал приват-доцентом в Кёнигсберге — городе, где родился Гильберт и где через двадцать лет прозвучит и „wir müssen wissen“, и первое сообщение о неполноте.

Он доказал три утверждения; вместе они и составляют ответ.

Первая теорема. Всякая кристаллографическая группа в $n$-мерном пространстве содержит $n$ независимых переносов, и подгруппа переносов имеет в ней конечный индекс.

Иными словами, всякая такая группа устроена по одному образцу: внутри сидит решётка переносов, а сверху надстроена конечная группа поворотов и отражений. Никакой экзотики не бывает — это и есть содержательная часть.

Вторая теорема. В каждой размерности кристаллографических групп конечное число.

Это и есть ответ Гильберту.

Третья теорема. Если две кристаллографические группы изоморфны как абстрактные группы, то они переводятся друг в друга аффинным преобразованием.

То есть алгебраическая структура группы определяет геометрию узора полностью. Довольно неожиданно: обычно абстрактная группа «забывает» о том, откуда взялась.

Сколько же их

Числа стоит привести, потому что они показывают, насколько по-разному ведёт себя «конечно» в разных размерностях:

размерность	групп
1	2
2	17
3	219 (или 230)
4	4783 (или 4894)
5	222 018
6	28 927 915

Про двойные числа надо объяснить. В трёхмерном пространстве среди групп есть одиннадцать пар «правая — левая»: зеркальные отражения друг друга, аффинным преобразованием с сохранением ориентации не совмещаемые. Математик, которому ориентация безразлична, скажет «219». Кристаллограф скажет «230», потому что правый и левый кварц — физически разные вещества, и путать их нельзя. Оба правы; знаменитое число 230 — это счёт кристаллографа.

Размерности 5 и 6 сосчитаны только в 1978 году и только на ЭВМ. Что число конечно, Бибербах доказал в двадцать четыре года; чему оно равно, для шести измерений выяснили через шестьдесят восемь лет.

Человек, о котором надо сказать правду

Дальше следует часть биографии, которую иногда опускают, и опускать её не надо.

Бибербах прожил долгую жизнь и оставил в математике много: помимо этих теорем — гипотеза Бибербаха о коэффициентах однолистных функций (1916), продержавшаяся до 1985 года, и добротные учебники.

В 1933 году он стал одним из самых активных нацистов в немецкой математике. Он публично травил Эдмунда Ландау, поддерживал изгнание еврейских коллег из университетов, а в 1936-м основал журнал «Deutsche Mathematik», где отстаивал существование «арийского» и «еврейского» стилей мышления в математике. После войны он был отстранён от преподавания.

Держать в голове обе эти вещи одновременно неудобно, но необходимо. Теорема Бибербаха верна независимо от того, кем он был; кем он был — не отменяется тем, что теорема верна. Карта в этом месте ничего не сглаживает.

Задача для класса

Проверьте первую теорему Бибербаха в самом простом случае — на прямой ($n=1$).

Кристаллографическая группа на прямой — это дискретная группа движений прямой, содержащая хотя бы один ненулевой сдвиг. Движения прямой бывают всего двух видов: сдвиг $x\mapsto x+a$ и отражение $x\mapsto c-x$.

а) Докажите, что все сдвиги такой группы образуют множество $\{x\mapsto x+ka\}$ для некоторого $a>0$ и всех целых $k$.
б) Покажите, что если в группе есть хоть одно отражение, то подгруппа сдвигов имеет индекс ровно 2.
в) Заключите, что кристаллографических групп на прямой ровно две — с отражениями и без.

Следующая точка: Берлин — где спросят, что такое поле, и ответят списком аксиом, ничего не сказав о том, из чего оно состоит.