Штейниц: что такое поле

Пробел

Между точкой о Дедекинде (1871) и точкой об Эмми Нётер (1921) на линии пусто. Между тем именно в этот полувек сложились понятия, которые НётерЭмми Нётернемецкий математик · 1882–1935Изменила не столько набор теорем, сколько способ думать: после неё алгебра занимается не вычислениями с объектами, а структурами и отображениями между ними. потом аксиоматизировала, и главное из них — поле.

К 1900 году поля возникали повсюду и всякий раз конкретно:

• $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ — числовые;
• числовые поля $\mathbb{Q}(\alpha)$ — у ДедекиндаРихард Дедекинднемецкий математик · 1831–1916Определил действительное число через разрез рационального ряда и научил математику работать с бесконечными множествами как с объектами — сорок лет проработав учителем в родном Брауншвейге. и КронекераЛеопольд Кронекернемецкий математик · 1823–1891«Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человеческих». Требовал, чтобы всякий объект строился за конечное число шагов, и травил Кантора за бесконечности — а сам оставил теоремы, без которых нет ни…;
• поля Галуа $\mathbb{F}_{p^{n}}$ — конечные, у ГалуаЭварист Галуафранцузский математик · 1811–1832За двадцать лет жизни успел провалить экзамены, отсидеть в тюрьме и создать теорию групп — записанную начисто в ночь перед дуэлью. и Мура;
• поля функций — у РиманаБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики. и Дедекинда — Вебера;
• $p$-адические числа $\mathbb{Q}_{p}$ — у Гензеля (1897), объект настолько странный, что современники не знали, куда его девать.

Общего понятия не было. Термин Körper («тело», в русском — «поле») ввёл Дедекинд ещё в 1871-м, Вебер дал абстрактное определение в 1893-м, но теории — списка возможных полей, их классификации, техники построения расширений — не существовало.

Работа

Эрнст Штейниц, «Algebraische Theorie der Körper», Journal für die reine und angewandte Mathematik (журнал Крелле) 137 (1910), с. 167–309.

Сто сорок страниц. Штейниц (1871–1928) был тогда приват-доцентом Высшей технической школы в Берлине-Шарлоттенбурге; в том же 1910 году он перешёл в Бреслау, позже в Киль.

Во введении он прямо называет побудительный мотив: $p$-адические числа Гензеля. Появление объекта, который очевидно является полем, но не похож ни на одно известное, поставило вопрос: а какими вообще бывают поля?

Содержание

1. Характеристика. Всякое поле содержит либо $\mathbb{Q}$, либо $\mathbb{F}_{p}$ — простое подполе.

Рассуждение элементарно и стоит того, чтобы его провести. Рассмотрим элементы $1, 1+1, 1+1+1,\ldots$ Возможны два случая:

• все они различны — тогда поле содержит копию $\mathbb{Z}$, а значит и $\mathbb{Q}$; характеристика 0;
• какая-то сумма обращается в нуль — пусть $p$ наименьшее такое число. Тогда $p$ простое: если $p=ab$ с $a,b<p$, то $(a\cdot1)(b\cdot1)=0$, а в поле нет делителей нуля. Получаем $\mathbb{F}_p$; характеристика $p$.

Отсюда классификация «первого этажа»: у всякого поля ровно одно из двух оснований.

2. Расширения. Всякое расширение $K\subseteq L$ раскладывается на два типа:

• алгебраическое: каждый элемент $L$ — корень многочлена над $K$;
• трансцендентное: есть элементы, не удовлетворяющие никакому уравнению.

Структурная теорема. Всякое расширение получается как трансцендентное, за которым следует алгебраическое: сначала присоединяем базис трансцендентности (максимальный набор алгебраически независимых элементов), затем берём алгебраическое расширение полученного.

Степень трансцендентности — мощность базиса трансцендентности — корректно определена (не зависит от выбора базиса), в точности как размерность векторного пространства. Доказательство — то же рассуждение о замене, что в линейной алгебре.

3. Алгебраическое замыкание — главная теорема.

Теорема Штейница. Всякое поле $K$ обладает алгебраическим замыканием $\overline{K}$ — алгебраическим расширением, в котором всякий многочлен разлагается на линейные множители. Оно единственно с точностью до изоморфизма.

Значение: то, что для $\mathbb{C}$ утверждает основная теорема алгебры, верно для любого поля — правда, не для него самого, а для его расширения, которое всегда можно построить.

И тут важная тонкость. Доказательство существования $\overline{K}$ требует аксиомы выбора (в форме леммы Цорна). Штейниц был первым, кто это заметил и явно оговорил, — в 1910 году, когда аксиома выбора была свежим и спорным предметом (ЦермелоЭрнст Цермелонемецкий математик и логик · 1871–1953Доказательством на одну страницу вызвал самый громкий скандал в основаниях математики за век — и, отбиваясь от критиков, выписал теорию множеств списком аксиом. На этом списке математика стоит по сей день. сформулировал её в 1904-м, и вокруг кипел скандал).

Это исторически значимый момент: алгебра впервые сознательно опёрлась на теоретико-множественную аксиому. Штейниц пишет об этом в примечании с некоторой неловкостью, отмечая, что многие математики принимают этот принцип не безоговорочно.

4. Совершенные поля и сепарабельность. Штейниц разбирает патологии характеристики $p$: многочлен может иметь кратные корни в неожиданных местах (например, $x^{p}-t$ над $\mathbb{F}_{p}(t)$ имеет один корень кратности $p$). Отсюда понятия сепарабельного и несепарабельного расширения — техника, без которой теория Галуа в конечной характеристике не работает.

5. Конечные поля. Полная классификация: для каждой степени простого числа $q=p^{n}$ существует ровно одно поле из $q$ элементов, и других конечных полей нет.

$$|\mathbb{F}_{q}|=q=p^{n}, \qquad \mathbb{F}_{q}=\text{поле разложения } x^{q}-x \text{ над } \mathbb{F}_{p}.$$

Мультипликативная группа $\mathbb{F}_q^{*}$ циклична порядка $q-1$.

Почему это точка первой очереди

Без Штейница нет ни Нётер, ни ван дер Вардена.

Ван дер Варден в «Moderne Algebra» прямо указывает, что глава о теории полей следует Штейницу; современный университетский курс теории полей — это, по сути, пересказ работы 1910 года, дополненный артиновской версией теории Галуа.

И это первый образец «структурного» текста в алгебре — за одиннадцать лет до Нётер. Штейниц берёт понятие, определённое аксиомами, и исчерпывающе выясняет, что из этих аксиом следует: какие бывают поля, как устроены их расширения, что можно построить. Никаких вычислений с конкретными числами; всё выводится из определения.

Метод Нётер («begrifflich, nicht rechnerisch») здесь уже применён во всей полноте — просто к одному конкретному понятию, а не как общая программа.

Человек

Эрнст Штейниц известен ещё одним крупным результатом — теоремой Штейница о выпуклых многогранниках (1916): граф является графом трёхмерного выпуклого многогранника тогда и только тогда, когда он планарен и трёхсвязен. Одна из красивейших теорем комбинаторной геометрии.

В линейной алгебре его имя носит лемма о замене — техническое утверждение, из которого следует корректность понятия размерности.

Штейниц был евреем; умер в 1928 году в Киле, не дожив до 1933-го. Его посмертная книга по теории многогранников была издана в 1934-м Радемахером.

Соседние точки: Дедекинд (1871) → Штейниц → Нётер (1921).