Идеалы: множество как объект

Беда, из которой всё выросло

Основная теорема арифметики: всякое натуральное число раскладывается на простые множители единственным образом. Это настолько привычно, что кажется свойством самих чисел, а не конкретной системы.

Но стоит выйти за пределы $\mathbb{Z}$ — и однозначность рушится. Классический пример, который стоит разобрать целиком.

Рассмотрим кольцо $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]=\{a+b\sqrt{-5}: a,b\in\mathbb{Z}\}$. Число 6 раскладывается двумя способами:

$$6 = 2\cdot 3 = \left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right).$$

Проверим второе: $(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}) = 1-(-5)=6$. $\checkmark$

Все четыре множителя неразложимы. Чтобы это увидеть, введём норму $N(a+b\sqrt{-5})=a^{2}+5b^{2}$. Она мультипликативна: $N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta)$ (это тождество Брахмагупты, с $N=-5$).

$N(2)=4$. Если $2=\alpha\beta$ нетривиально, то $N(\alpha)N(\beta)=4$, значит $N(\alpha)=2$. Но $a^{2}+5b^{2}=2$ не имеет целых решений ($b=0$ даёт $a^2=2$; $b\ne0$ даёт $\geqslant5$). Значит, 2 неразложимо.
$N(3)=9$: нужно $a^{2}+5b^{2}=3$ — нет решений. Неразложимо.
$N(1\pm\sqrt{-5})=6$: нужно $a^2+5b^2\in\{2,3\}$ — нет решений. Неразложимы.

И множители не совпадают с точностью до обратимых: обратимые элементы здесь только $\pm1$ (норма 1).

Итог: однозначность разложения не выполняется. Причём это не патология, а норма: в большинстве колец целых алгебраических чисел она нарушается.

Куммер и идеальные числа

Эрнст Куммер (Берлин, 1847) наткнулся на это, работая над Великой теоремой Ферма. Его доказательство для простых показателей опиралось на разложение

$$x^{p}+y^{p} = \prod_{k=0}^{p-1}\left(x+\zeta^{k}y\right), \qquad \zeta = e^{2\pi i/p},$$

в кольце $\mathbb{Z}[\zeta]$ — и на предположение об однозначности разложения в этом кольце. (Ходит легенда, что Куммер послал такое доказательство в Академию, а Дирихле указал на ошибку; документально это не подтверждается, но ошибку такого рода в те годы делали многие.)

Однозначность в $\mathbb{Z}[\zeta_p]$ выполняется при $p<23$ и нарушается при $p=23$.

Идея Куммера: раз множителей не хватает, добавим недостающие. Он вводит «идеальные простые числа» (ideale Primzahlen) — фиктивные сущности, на которые «на самом деле» делятся наши неразложимые элементы, и относительно которых однозначность восстанавливается.

Метод работал (Куммер доказал ВТФ для целого класса «регулярных» простых, включая все $p<100$ кроме 37, 59, 67), но был непонятен: что такое эти идеальные числа? Они не элементы кольца. Куммер определял их косвенно, через условия делимости, и его конструкция была громоздкой и привязанной к круговым полям.

Ход Дедекинда

Рихард ДедекиндUnknown (Mondadori Publishers) · Public domain

Рихард Дедекинд, Приложение X ко второму изданию «Лекций по теории чисел» Дирихле, Брауншвейг, 1871.

Ход, который стоит осознать во всей его простоте:

Не будем спрашивать, что такое идеальное число. Отождествим его с множеством тех элементов, которые на него делятся.

Определение. Подмножество $I$ кольца $R$ называется идеалом, если:

$a,b\in I \Rightarrow a+b\in I$;
$a\in I,\ r\in R \Rightarrow ra\in I$ («поглощение»).

Главный идеал $(a)=aR$ — множество кратных элемента $a$. Так обычные числа вкладываются в мир идеалов. А идеальные числа Куммера оказываются идеалами, не являющимися главными.

Умножение идеалов: $IJ$ — идеал, порождённый всеми произведениями $ab$, $a\in I$, $b\in J$.

Теорема Дедекинда. В кольце целых алгебраических чисел всякий ненулевой идеал единственным образом разлагается в произведение простых идеалов.

Однозначность восстановлена — не для элементов, а для идеалов.

Как это спасает наш пример

Вернёмся к $6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$. Введём четыре идеала:

$$\mathfrak{p}=\left(2,\,1+\sqrt{-5}\right), \quad \mathfrak{q}_{1}=\left(3,\,1+\sqrt{-5}\right), \quad \mathfrak{q}_{2}=\left(3,\,1-\sqrt{-5}\right).$$

(Запись $(a,b)$ означает идеал, порождённый двумя элементами: все выражения $ra+sb$.)

Тогда, как можно проверить прямым вычислением:

$$(2)=\mathfrak{p}^{2}, \qquad (3)=\mathfrak{q}_{1}\mathfrak{q}_{2}, \qquad \left(1+\sqrt{-5}\right)=\mathfrak{p}\,\mathfrak{q}_{1}, \qquad \left(1-\sqrt{-5}\right)=\mathfrak{p}\,\mathfrak{q}_{2}.$$

Проверим одно из равенств, чтобы не быть голословными. $\mathfrak{p}^2$ порождён произведениями образующих: $4$, $2(1+\sqrt{-5})$, $(1+\sqrt{-5})^2 = -4+2\sqrt{-5}$. Все они делятся на 2; и $2 = 4 - (-4+2\sqrt{-5}) - 2(1+\sqrt{-5}) + \ldots$ — комбинация даёт 2. Значит $\mathfrak{p}^2=(2)$.

Теперь оба разложения шестёрки дают одно и то же:

$$(6) = (2)(3) = \mathfrak{p}^{2}\mathfrak{q}_{1}\mathfrak{q}_{2}, \qquad (6) = \left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right) = \left(\mathfrak{p}\mathfrak{q}_{1}\right)\left(\mathfrak{p}\mathfrak{q}_{2}\right)=\mathfrak{p}^{2}\mathfrak{q}_{1}\mathfrak{q}_{2}.$$

Совпало. Кажущаяся неоднозначность была следствием того, что мы смотрели на элементы вместо идеалов: множители $2$ и $1+\sqrt{-5}$ «склеены» из одних и тех же простых идеалов в разных сочетаниях. $\blacksquare$

Заодно вводится число классов $h$ — мера того, насколько сильно кольцо отклоняется от однозначности (сколько классов идеалов с точностью до главных). Однозначность разложения элементов равносильна $h=1$. Для $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ имеем $h=2$.

Почему это точка перелома

Здесь стоит остановиться и сказать прямо, что произошло.

До Дедекинда алгебраический объект — это элемент: число, многочлен, подстановка. Операции производятся над элементами.

У Дедекинда алгебраический объект — это множество элементов, замкнутое относительно операций. И над такими множествами тоже определены операции: их можно перемножать, складывать, разлагать на множители.

Это первый в истории случай, когда целая совокупность рассматривается как единый объект алгебры. Ход, который сегодня кажется рутинным (факторгруппа — множество классов; фактор-кольцо — множество классов; когомологии — множество классов), в 1871 году был совершенно новым.

Дедекинд действовал сознательно. Он писал, что предпочитает определения, которые не зависят от способа задания и от произвольного выбора, — и что путь через множества именно таков.

Отсюда прямая линия к точке об Эмми Нётер: Эмми Нётер аксиоматизирует то, что Дедекинд построил, и превратит это в общий метод. Она называла себя его ученицей и в лекциях повторяла: «Всё уже есть у Дедекинда».

Тот же город, годом позже

Год спустя, в 1872 году, в том же Брауншвейге, тот же Дедекинд публикует «Stetigkeit und irrationale Zahlen» — сечения, конструкцию вещественных чисел.

Один человек, один город, два года подряд — и два фундамента: под алгеброй и под анализом. Приём в обоих случаях один и тот же: вместо того чтобы спрашивать, что такое объект, отождествить его с множеством. Вещественное число есть множество рациональных, лежащих левее; идеальное число есть множество элементов, на него делящихся.

Для карты это замечательная связка: одна и та же точка на местности принадлежит двум линиям, и по существу, а не по совпадению.

Дедекинд-человек

Дедекинд (1831–1916) — последний ученик Гаусса (защитился в Гёттингене в 1852-м), слушал Дирихле и Римана. С 1862 года и до конца жизни преподавал в технической школе родного Брауншвейга, отказавшись от университетских предложений; жил с сестрой Юлией, не был женат, дожил до 85 лет.

Помимо идеалов и сечений: издание трудов Дирихле, Гаусса и Римана; «Was sind und was sollen die Zahlen?» (1888) с определением бесконечного множества и аксиоматикой натуральных чисел (воспроизведённой годом позже Пеано); многолетняя переписка с Кантором — важнейший источник по истории теории множеств.

Известен анекдот: в одном справочнике его смерть по ошибке датировали 4 сентября 1899 года. Дедекинд написал издателю, что день, возможно, и верен, а вот год определённо нет, поскольку именно в этот день он вполне здоровым обедал со своим другом Кантором.

Следующая точка: Восточная Пруссия — исключительные симметрии из провинциального лицея.