Жордан: Галуа становится преподаваемым

Зачем нужна отдельная точка

Работы Галуа опубликованы ЛиувиллемЖозеф Лиувилльфранцузский математик · 1809–1882Первым предъявил трансцендентное число — построил его, а не доказал, что такие «должны существовать». И спас Галуа: разобрал рукописи, четырнадцать лет пролежавшие без движения, и напечатал их. в 1846 году (Галуа). Казалось бы, дальше всё должно было пойти само.

Не пошло. Двадцать четыре года после публикации теорию понимали единицы. Причины:

• тексты Галуа предельно сжаты, местами набросочны;
• терминология не устоялась; слово «группа» употреблялось расплывчато;
• не было ни учебника, ни системы, ни примеров;
• сам предмет казался узким: критерий разрешимости уравнений — одна задача, пусть и знаменитая.

Требовался человек, который изложит теорию как теорию, а не как решение одной задачи.

Книга

Камиль Жордан, «Traité des substitutions et des équations algébriques», Париж, 1870. 667 страниц.

Жордан (1838–1922) — выпускник Политехнической школы, по образованию и первой профессии инженер (он двадцать лет служил инженером горного ведомства, занимаясь математикой параллельно, — как Кэли адвокатом).

Что в книге:

Книга I — сравнения, конечные поля, теория чисел как подготовка.

Книга II — теория подстановок сама по себе: подгруппы, транзитивность, примитивность, нормальные подгруппы, композиционные ряды.

Книга III — линейные группы над конечными полями; классические группы; здесь Жордан по существу открывает то, что позже назовут группами лиева типа (см. точку о Шевалле).

Книга IV — приложения к уравнениям: теория Галуа, разрешимость, конкретные примеры (уравнение деления круга, уравнения, связанные с эллиптическими функциями, уравнение 27 прямых на кубической поверхности).

Что появилось впервые

1. Теорема Жордана — Гёльдера. Ключевой результат книги (Жордан доказал единственность порядков факторов в 1870-м; Гёльдер в 1889-м усилил до единственности самих факторов с точностью до изоморфизма).

Теорема. У всякой конечной группы существует композиционный ряд
$$\{e\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft\cdots\triangleleft G_{n}=G$$
с простыми факторами $G_{i+1}/G_{i}$, и набор этих факторов не зависит от выбора ряда.

Это обоснование всей классификационной программы (классификация конечных простых групп). Композиционные факторы — «простые множители» группы, определённые однозначно, как простые числа в разложении целого. Отсюда: чтобы понять все конечные группы, надо понять простые.

Аналогия с арифметикой полная, и именно она превратила поиск простых групп из курьёза в осмысленную задачу.

2. Систематическая теория подстановок. Транзитивность, примитивность, кратная транзитивность — понятия, введённые и разработанные здесь. Жордан подробно разбирает группы Матьё (найденные в 1861 и 1873 годах) как примеры кратно транзитивных групп.

3. Первое связное изложение теории Галуа, с определениями, доказательствами и примерами. Именно из этой книги теория попала в учебники.

4. Нормальная форма Жордана для матриц — здесь она появляется в контексте линейных групп над $\mathbb{F}_{p}$, а не над $\mathbb{C}$, как её обычно преподают.

Влияние

КлейнФеликс Клейннемецкий математик и организатор науки · 1849–1925Объяснил, что геометрия — это группа преобразований и её инварианты, а потом на тридцать лет превратил Гёттинген в мировую столицу математики. и Ли приехали в Париж весной 1870 года, познакомились с Жорданом лично и читали его книгу, едва она вышла. Оба свидетельствовали, что она определила их дальнейшую работу.

Прямые следствия:

• Эрлангенская программа Клейна (1872) — геометрия через группы;
• программа Ли (с 1873) — дифференциальные уравнения через непрерывные группы.

Иначе говоря, две точки первой очереди этого файла выросли из чтения одной книги.

Далее: книгу читали ФробениусФердинанд Фробениуснемецкий математик · 1849–1917За несколько месяцев переписки создал теорию характеров конечных групп — и тем сделал абстрактную алгебру считаемой., Гёльдер, Бёрнсайд (чей учебник «Theory of Groups of Finite Order», 1897, стал следующим этапом), Диксон. Через них — вся теория групп XX века.

Жордан-математик вообще

Помимо теории групп:

• теорема Жордана о кривой (всякая замкнутая несамопересекающаяся кривая делит плоскость на две части) — знаменита тем, что утверждение очевидно, а доказательство мучительно; собственное доказательство Жордана считалось неполным (справедливость этого упрёка сегодня оспаривается);
• мера Жордана — предшественница меры Лебега;
• функции ограниченной вариации и теорема о разложении их в разность монотонных;
• «Cours d'analyse de l'École Polytechnique» (1882–87) — один из лучших учебников анализа своего века, из которого, по признанию ЛебегаАнри Лебегфранцузский математик · 1875–1941Предложил считать интеграл, разрезая не ось абсцисс, а ось значений, — и получил теорию, в которой предел и интеграл наконец можно менять местами., он и вырос.

Жордан был редактором «Journal de mathématiques pures et appliquées» — того самого, где Лиувилль напечатал Галуа, — с 1885 по 1921 год.

Печальная деталь: из восьми его сыновей трое погибли в Первой мировой войне.

Соседние точки: Галуа (1832) → Жордан → Клейн (1872), Ли (1873), Кэли, классификация.