Шевалле: группы лиева типа

Задача

К 1950-м годам было известно следующее.

Непрерывная сторона (Киллинг). Простые комплексные алгебры Ли классифицированы: четыре серии $A_n,B_n,C_n,D_n$ и пять исключительных $G_2,F_4,E_6,E_7,E_8$.

Конечная сторона. Известны конечные простые группы: циклические, знакопеременные $A_n$, и классические группы над конечными полями — $\mathrm{PSL}_{n}(q)$, $\mathrm{PSp}_{2n}(q)$, $\mathrm{P\Omega}_{n}(q)$, $\mathrm{PSU}_{n}(q)$. Последние построил и исследовал Леонард Диксон («Linear Groups», 1901) — огромная работа, выполненная по большей части вручную, случай за случаем.

Бросается в глаза совпадение. Классические конечные группы соответствуют сериям $A,B,C,D$. А где конечные аналоги исключительных алгебр? Диксон построил кое-что для $G_2$ (1901) и $E_6$ (1901), тоже вручную, и на этом остановился: методы не обобщались.

Общий вопрос: существует ли единообразная конструкция, дающая группу по алгебре Ли и произвольному полю?

Ответ

Клод Шевалле (в центре) в ЯпонииKonrad Jacobs · CC BY-SA 2.0 de

Клод Шевалле, «Sur certains groupes simples», Tôhoku Mathematical Journal 7 (1955), с. 14–66.

Статья, известная как «тохокская работа Шевалле» (не путать с одноимённой знаменитой работой Гротендика 1957 года в том же журнале). Шевалле, один из основателей Бурбаки, вернулся к тому времени во Францию после пятнадцати лет в США.

Ответ: да, конструкция существует, и она единообразна.

Как это устроено

Идея красивая, и её можно изложить, не вдаваясь в технику.

Проблема. Алгебра Ли $\mathfrak{g}$ определена над $\mathbb{C}$. Чтобы «редуцировать по модулю $p$», нужны целые структурные константы — а в стандартном базисе они дробные.

Решение Шевалле: базис Шевалле. Он показал, что в каждой простой алгебре Ли можно выбрать базис

$$\left\{h_{i}\right\}\cup\left\{e_{\alpha}\right\}_{\alpha\in\Phi}$$

(элементы подалгебры Картана и корневые векторы), в котором все структурные константы целые:

$$\left[e_{\alpha},e_{\beta}\right]=\pm\left(r+1\right)e_{\alpha+\beta}, \qquad r\in\mathbb{Z}_{\geqslant0}.$$

Существование такого базиса — главная техническая теорема работы, и она нетривиальна.

Дальше — «редукция по модулю $p$». Целые константы позволяют определить ту же алгебру над $\mathbb{Z}$, а значит и над любым полем $k$: просто рассматриваем $\mathfrak{g}_{\mathbb{Z}}\otimes k$.

Построение группы. Определим для каждого корня $\alpha$ и каждого $t\in k$ оператор

$$x_{\alpha}(t)=\exp\left(t\,\mathrm{ad}\,e_{\alpha}\right)=1+t\,\mathrm{ad}\,e_{\alpha}+\frac{t^{2}}{2}\left(\mathrm{ad}\,e_{\alpha}\right)^{2}+\cdots$$

Экспонента над полем характеристики $p$ выглядит незаконно (деление на $2!$, $3!$, …). Но здесь работает чудо: оператор $\mathrm{ad}\,e_{\alpha}$ нильпотентен, ряд обрывается, а коэффициенты вида $\dfrac{\left(\mathrm{ad}\,e_\alpha\right)^{m}}{m!}$ оказываются целочисленными операторами («разделённые степени»). Поэтому формула имеет смысл над любым полем.

Группа Шевалле $G(k)$ — подгруппа $\mathrm{GL}\left(\mathfrak{g}\otimes k\right)$, порождённая всеми $x_{\alpha}(t)$.

Теорема Шевалле. Для простой алгебры Ли $\mathfrak{g}$ и поля $k$ группа $G(k)$ проста (за конечным числом мелких исключений, вроде $\mathrm{PSL}_2(2)$ и $\mathrm{PSL}_2(3)$).

Результат

Из пяти исключительных алгебр получены пять новых серий конечных простых групп:

$$G_{2}(q),\quad F_{4}(q),\quad E_{6}(q),\quad E_{7}(q),\quad E_{8}(q).$$

Группы $F_4(q)$, $E_7(q)$, $E_8(q)$ не были известны вообще: Шевалле открыл три бесконечных семейства простых групп одним рассуждением.

Порядок вычисляется по единой формуле через степени Кокстера. Например,

$$|E_{8}(q)| = q^{120}\prod_{d\in\{2,8,12,14,18,20,24,30\}}\left(q^{d}-1\right).$$

Уже при $q=2$ это число порядка $10^{74}$ — больше порядка Монстра.

И столь же важно: старые результаты Диксона получены заново, единообразно. То, на что ушла монография в 300 страниц с разбором случаев, стало следствием одной теоремы.

Продолжение: скрученные группы

Работа Шевалле немедленно породила продолжение. Оказалось, что можно строить и «скрученные» варианты, используя симметрии диаграмм Дынкина:

Автор, год	Группы	Откуда симметрия
Стейнберг (1959)	${}^{2}A_{n}$, ${}^{2}D_{n}$, ${}^{3}D_{4}$, ${}^{2}E_{6}$	симметрии порядка 2 и 3 диаграмм $A_n$, $D_n$, $E_6$
Судзуки (1960)	${}^{2}B_{2}(2^{2n+1})$	особая симметрия $B_2$ в характеристике 2
Ри (1961)	${}^{2}F_{4}(2^{2n+1})$, ${}^{2}G_{2}(3^{2n+1})$	особые симметрии в характеристиках 2 и 3

Группы Судзуки замечательны тем, что это единственные неабелевы простые группы, порядок которых не делится на 3.

Итог для классификации

Складываем:

1 семейство: циклические $\mathbb{Z}/p$;
1 семейство: знакопеременные $A_n$, $n\geqslant5$;
16 семейств: группы лиева типа (Шевалле, Стейнберг, Судзуки, Ри);
26 штук: спорадические.

Шестнадцать из восемнадцати бесконечных семейств — это группы лиева типа. Без точки Шевалле формулировка теоремы классификации непонятна: непонятно, откуда берутся эти шестнадцать семейств и почему их именно столько.

Более того, работа Шевалле сделала классификацию мыслимой: до 1955 года список конечных простых групп выглядел как груда несвязанных фактов; после — как обозримая структура с ясной «регулярной частью» и понятным вопросом об исключениях.

Замечание о связи с точкой о Киллинге

Стоит подчеркнуть красоту этого моста. Киллинг в 1888 году в прусском лицее классифицировал непрерывные симметрии — объекты анализа и геометрии. Через 67 лет выяснилось, что тот же список описывает конечные группы, где никакой непрерывности нет.

Классификация Киллинга — Картана оказалась не фактом о комплексных алгебрах Ли, а фактом о системах корней, то есть о конечных наборах векторов с целочисленными условиями. Поэтому она и переносится на любое поле.

Диаграммы Дынкина возникают в третий раз: у Киллинга (алгебры Ли), у Шевалле (конечные группы) и — забегая вперёд — в классификации особенностей, колчанов и много где ещё. Одна и та же комбинаторика, работающая в несвязанных областях, — явление, которому нет объяснения, только название: «ADE-классификация».

Соседние точки: Киллинг (1888) → Шевалле → Фейт и Томпсон (1963) → Янко.