Серр: пучки в алгебраической геометрии

Задача

К началу 1950-х алгебраическая геометрия находилась в тяжёлом положении.

Итальянская школа (Кастельнуово, Энриквес, Севери) в 1890–1930-х получила огромное количество глубоких результатов о поверхностях — но методами, строгость которых не выдерживала проверки. Часть теорем оказалась неверна, часть — верна при неоговорённых условиях, и отделить одно от другого было трудно. Севери и Энриквес спорили друг с другом о том, что доказано, а что нет.

Перестройка оснований велась в 1930–40-х: Зарисский (коммутативная алгебра как фундамент), ВейльГерман Вейльнемецкий математик и физик-теоретик · 1885–1955Соединил теорию групп с квантовой механикой, придумал калибровочную симметрию и был, по общему мнению, самым широко образованным математиком своего поколения. («Foundations of Algebraic Geometry», 1946), ШеваллеКлод Шеваллефранцузский математик · 1909–1984Построил группы Ли над конечными полями — и тем выдал почти весь список конечных простых групп одной конструкцией.. Строгость была восстановлена, но ценой громоздкости: аппарат вышел тяжёлым и плохо приспособленным к вычислениям.

Тем временем в топологии произошла революция: ЛереЖан Лерефранцузский математик · 1906–1998В лагере для военнопленных, скрывая от немцев, что он специалист по гидродинамике, придумал теорию пучков и спектральные последовательности — аппарат, на котором стоит вся современная топология. (в немецком плену, 1940–45!) изобрёл пучки и спектральные последовательности; КартанЭли Картанфранцузский математик · 1869–1951Довёл до порядка классификацию Киллинга, придумал дифференциальные формы и связности — и двадцать лет считался автором работ, которых никто не читал. и Серр развили теорию; Ока и Картан применили её к комплексному анализу с блестящим успехом.

Вопрос: можно ли перенести пучки в алгебраическую геометрию, где нет ни непрерывности в обычном смысле, ни разбиений единицы?

Препятствие серьёзное: топология Зарисского крайне груба (замкнутые множества — только алгебраические, открытых мало, пространство не хаусдорфово). Казалось, что для пучков она непригодна.

Работа

Жан-Пьер Серр, «Faisceaux algébriques cohérents», Annals of Mathematics 61 (1955), с. 197–278. Сокращённо — FAC.

Серру (род. 1926) на момент публикации 29 лет; годом раньше, в 1954-м, он получил Филдсовскую медаль в возрасте 27 лет — и до сих пор остаётся самым молодым лауреатом за всю историю премии (за работы по гомотопическим группам сфер).

Ответ Серра: да, можно — и топология Зарисского, вопреки опасениям, для этого годится.

Что такое пучок (коротко)

Пучок $\mathcal{F}$ на пространстве $X$ сопоставляет каждому открытому $U$ множество $\mathcal{F}(U)$ («сечения над $U$») с операциями ограничения, подчинёнными условию склейки: сечения, согласованные на пересечениях, склеиваются в единственное глобальное.

Смысл: пучок — это способ говорить о локальных данных и о том, как они собираются в глобальные.

Примеры: непрерывные функции; голоморфные функции; регулярные функции на многообразии; сечения векторного расслоения.

Когомологии пучка $H^{i}(X,\mathcal{F})$ измеряют препятствия к склейке: $H^{0}$ — глобальные сечения, $H^{1}$ — препятствие к продолжению локальных сечений до глобального, и так далее.

Это именно тот аппарат, которого не хватало: классическая геометрия постоянно упиралась в вопросы «существует ли функция с такими-то локальными свойствами», а теперь ответ стал вычислимым.

Что сделано в FAC

1. Когерентные пучки определены в алгебраическом контексте, и доказаны их основные свойства.

2. Когомологии Чеха определены для топологии Зарисского и показано, что они дают правильную теорию (в частности, работают для аффинных покрытий).

3. Теорема об аффинных схемах. На аффинном многообразии высшие когомологии когерентного пучка исчезают:

$$H^{i}\left(X,\mathcal{F}\right)=0 \quad\text{при } i>0.$$

Значит, аффинные многообразия — «строительные блоки без препятствий», и всё содержание сосредоточено в способе их склейки. Это в точности идея, из которой ГротендикАлександр Гротендикфранцузский математик · 1928–2014Переписал алгебраическую геометрию с нуля на языке схем и пучков, а в сорок два года бросил математику и последние двадцать пять лет прожил отшельником в пиренейской деревне. выведет схемы.

4. Конечномерность. Для проективного многообразия когомологии конечномерны — что делает их вычислимыми инвариантами.

5. Соответствие Серра. Когерентные пучки на проективном пространстве описываются градуированными модулями над кольцом многочленов. Геометрия сведена к алгебре явным словарём.

6. Теорема Серра — Свона (позже, 1955–62): векторные расслоения ↔ проективные модули. Ещё один перевод геометрии в алгебру, работающий и в топологическом, и в алгебраическом контексте; основа алгебраической K-теории и, впоследствии, некоммутативной геометрии Кона.

Влияние

Немедленное. Классические результаты (теорема РиманаБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики. — Роха, теоремы об исчезновении, теория линейных систем) переформулировались на языке когомологий и становились прозрачными. Появился единый аппарат вместо набора приёмов.

На Гротендика — решающее. Гротендик прямо отталкивался от FAC:

• обобщил постановку с многообразий на схемы (произвольные кольца);
• заменил когомологии Чеха производными функторами (Tôhoku, 1957);
• построил относительную версию (когомологии морфизма, а не объекта);
• добавил этальную топологию и получил этальные когомологии для гипотез Вейля.

Формулировка, которую можно встретить у историков предмета: FAC был последней работой классической алгебраической геометрии и первой работой современной.

Гипотеза Серра (1955), поставленная в конце FAC: всякий конечно порождённый проективный модуль над кольцом многочленов $k[x_1,\ldots,x_n]$ свободен. Геометрически: всякое векторное расслоение над аффинным пространством тривиально. Доказана независимо Квилленом и Суслиным в 1976 году — теорема Квиллена — Суслина.

Серр вообще

Жан-Пьер Серр — единственный человек, получивший все три высшие награды в математике: Филдсовскую медаль (1954), премию Вольфа (2000) и Абелевскую премию (2003, первую в истории).

Помимо алгебраической геометрии: гомотопические группы сфер (спектральная последовательность Серра), теория ГалуаЭварист Галуафранцузский математик · 1811–1832За двадцать лет жизни успел провалить экзамены, отсидеть в тюрьме и создать теорию групп — записанную начисто в ночь перед дуэлью. и представления, модулярные формы, гипотеза Серра о модулярности (сформулирована в 1987-м, доказана Хачимури, Винтенбергером и Кисиным в 2006–09 годах; она же — важный элемент программы, приведшей к ВТФ).

Он же известен как автор образцово ясных текстов: «Курс арифметики» (1970) и «Алгебраические группы и поля классов» читаются как образцы жанра. Стиль Серра — прямая противоположность гротендиковскому: минимальная общность, необходимая для результата, и предельная краткость.

Соседние точки: Nullstellensatz → Серр → Гротендик (1958).