Эли Картан

Картана называют самым недооценённым при жизни математиком XX века. Его аппарат — формы, связности, репер — сегодня язык всей дифференциальной геометрии и теоретической физики; современники находили его работы тёмными и почти не ссылались.

Сын кузнеца

Родился в савойской деревне Доломьё; отец был деревенским кузнецом. В школу его вывела государственная стипендия — инспектор, проверявший начальную школу, заметил мальчика и добился поддержки. Нормальная школа, диссертация 1894 года, кафедры в Монпелье, Лионе, Нанси и с 1909 года в Париже.

Его сын Анри Картан (1904–2008) стал одним из основателей группы Бурбаки — и фамилию в математических текстах приходится всякий раз уточнять.

Классификация

Диссертация — переработка работы Киллинга о простых алгебрах Ли. Киллинг получил список, но изложил его тяжело и с пробелами; Картан переписал доказательство, заполнил дыры и добавил классификацию представлений — то, без чего теория не работает. Многое из терминологии (подалгебра Картана, критерий Картана, матрица Картана) названо его именем именно потому, что читали его, а не Киллинга.

Дальше — бесконечномерные группы Ли, симметрические пространства, теория спиноров (1913), появившаяся за тринадцать лет до того, как они понадобились физике.

Формы и связности

Внешнее дифференциальное исчисление — дифференциальные формы и оператор $d$ с тождеством $d\circ d = 0$ — придумано Картаном в 1899 году на основе идей Грассмана и Пуанкаре. Сегодня это стандарт: формула Стокса в одну строку, теория когомологий де Рама, вся физика полей.

Связность Картана обобщает и риманову геометрию, и программу Клейна: в каждой точке к пространству прикладывается «модельное» однородное пространство, а связность говорит, как модель поворачивается при переходе. Это и был ответ на вопрос, почему схема Клейна не покрывает случай переменной кривизны.

С Эйнштейном он переписывался о теориях с кручением; из этих работ выросла теория Эйнштейна — Картана.

От Картана прямая дорога к расслоениям, калибровочным полям Янга — Миллса и всей геометрии XX века. Понадобилось только, чтобы кто-нибудь его прочёл — Вейль, Черн и Эресман сделали это в 1930–1950-е.