Теория категорий — побочный продукт

Слово, которое требовалось объяснить

Математики давно говорили, что одни изоморфизмы «естественны», а другие нет, — и понимали друг друга, не умея объяснить разницу.

Каноническим примером служит линейная алгебра. Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство.

• $V$ изоморфно своему сопряжённому $V^{*}$ (пространству линейных функционалов): размерности совпадают. Но чтобы предъявить изоморфизм, надо выбрать базис; при другом базисе получится другое соответствие. Изоморфизм есть, канонического — нет.
• $V$ изоморфно своему второму сопряжённому $V^{**}$, и здесь изоморфизм строится без всякого выбора: вектору $v$ сопоставляется функционал «подставь в меня $v$», то есть $\hat v(f)=f(v)$.

Разница очевидна всякому, кто с этим работал. Но что она такое формально?

Самуэль Эйленберг (1913–1998), поляк, бежавший в США в 1939 году, и Сондерс Маклейн (1909–2005) столкнулись с этим вопросом, занимаясь вполне конкретной топологической задачей — вычислением групп когомологий и связи между гомологиями пространства и его накрытий. Им понадобилось сказать, что некоторое соответствие «естественно», и они решили разобраться, что это значит.

Три определения

Ответ занял три понятия, и они вводятся именно в таком порядке.

Категория состоит из объектов и морфизмов между ними, с ассоциативной композицией и тождественными морфизмами.

Примеры: множества и отображения; группы и гомоморфизмы; топологические пространства и непрерывные отображения; векторные пространства и линейные операторы.

Функтор $F$ переводит объекты одной категории в объекты другой, а морфизмы — в морфизмы, сохраняя композицию и тождества.

Пример, ради которого всё затевалось: гомологии. Пространству сопоставляется группа, непрерывному отображению — гомоморфизм, композиции — композиция. Именно это замечание Нётер о функториальности здесь и получает имя.

Естественное преобразование $\eta:F\Rightarrow G$ — семейство морфизмов $\eta_X:F(X)\to G(X)$, одно для каждого объекта, согласованное со всеми морфизмами: для любого $f:X\to Y$ квадрат
$$\begin{array}{ccc}F(X)&\xrightarrow{\ \eta_X\ }&G(X)\\ \downarrow F(f)&&\downarrow G(f)\\ F(Y)&\xrightarrow{\ \eta_Y\ }&G(Y)\end{array}$$
коммутативен.

Теперь можно ответить на исходный вопрос. Соответствие $V\mapsto V^{**}$ — функтор, и отображение $v\mapsto\hat v$ образует естественное преобразование из тождественного функтора в него: квадрат коммутирует для любого линейного оператора. А $V\mapsto V^{*}$ функтором того же типа не является вовсе (он контравариантен: меняет направление стрелок), и естественного преобразования из тождественного в него не существует. Разница, которую чувствовали, оказалась точным утверждением.

Маклейн сформулировал логику построения афоризмом, который стал знаменитым:

Категории были определены для того, чтобы определить функторы, а функторы — для того, чтобы определить естественные преобразования.

То есть первые два понятия введены ради третьего. Как это часто бывает, вспомогательное оказалось важнее целевого.

Работы: заметка о группах и гомологиях 1942 года и большая статья «General theory of natural equivalences» (Transactions of the AMS, 1945).

Аксиомы Эйленберга — Стинрода

Второе следствие той же линии мысли — и оно перестроило изложение всей топологии.

К 1940-м годам теорий гомологий было построено несколько: симплициальные, сингулярные, чеховские, гомологии Виеториса. Все они на приличных пространствах давали одно и то же, но доказывать это каждый раз приходилось заново.

Эйленберг и Норман Стинрод в 1945 году (книга — 1952) предложили другой подход: не строить теорию, а перечислить её свойства. Семь аксиом — функториальность, гомотопическая инвариантность, точность, вырезание, аддитивность, размерность — определяют теорию гомологий однозначно на достаточно хорошем классе пространств.

Метод оказался образцом. Вместо «вот конструкция, проверим её свойства» — «вот свойства, любая конструкция с ними даёт то же самое». Отказ от одной аксиомы (размерности) открыл обобщённые теории когомологий: K-теорию, кобордизмы, — целый пласт математики второй половины века.

Куда это ушло

Категории вышли из топологии почти сразу и оказались нужны везде.

• Алгебраическая геометрия. ГротендикАлександр Гротендикфранцузский математик · 1928–2014Переписал алгебраическую геометрию с нуля на языке схем и пучков, а в сорок два года бросил математику и последние двадцать пять лет прожил отшельником в пиренейской деревне. в работе «Sur quelques points d'algèbre homologique» (Tôhoku, 1957) вводит абелевы категории и переписывает гомологическую алгебру; дальше — схемы, топосы, где категория становится не языком, а предметом.
• Логика. Теория топосов даёт модели интуиционистской логики — той самой, за которую воевал Брауэр.
• Информатика. Соответствие Карри — Ховарда связывает типы программ с логическими высказываниями, а декартово замкнутые категории — со λ-исчислением. Слова «функтор» и «монада» пришли в языки программирования (Haskell, Scala, современный TypeScript) буквально отсюда.

Отношение самих математиков к новому языку сначала было ироническим: за категориями закрепилось прозвище «общая абстрактная чепуха» (general abstract nonsense) — его, по одной из версий, пустил в ход сам Стинрод. Прозвище прижилось и употребляется до сих пор, но уже без насмешки: так называют рассуждения, проходящие на чистой формальной технике, без содержательных вычислений.

Двое

Эйленберг — фигура колоритная: член группы Бурбаки под прозвищем «Сэмми», соавтор Стинрода, Маклейна, КартанаЭли Картанфранцузский математик · 1869–1951Довёл до порядка классификацию Киллинга, придумал дифференциальные формы и связности — и двадцать лет считался автором работ, которых никто не читал. и Мура, а вдобавок один из крупнейших в мире коллекционеров индийского и юго-восточноазиатского искусства; свою коллекцию он передал музею Метрополитен. В 1960-е он занялся теорией автоматов и формальных языков — и там категорный взгляд тоже пригодился.

Маклейн большую часть жизни проработал в Чикаго; его книга «Categories for the Working Mathematician» (1971) остаётся стандартным учебником.

Место на карте — Энн-Арбор, где Эйленберг работал в Мичиганском университете в начале 1940-х; Маклейн в те годы был в Гарварде, и совместные работы делались в переписке и наездами.

Задача. Проверьте, что сопоставление «группе — её коммутант» является функтором из категории групп в себя, а «группе — её центр» функтором не является.
(Указание: гомоморфизм переводит коммутаторы в коммутаторы, значит коммутант в коммутант — функтор есть. А образ центра при гомоморфизме центральным быть не обязан: вложение абелевой подгруппы в неабелеву группу даёт контрпример.)

Следующая точка: Париж — где спектральные последовательности из лагерного барака впервые сдвинут с места задачу о гомотопиях сфер.