Серр: гомотопические группы сфер поддаются вычислению

Тупик

После расслоения Хопфа (1931) стало ясно, что группы $\pi_m(S^{n})$ при $m>n$ бывают нетривиальны. К 1950 году было вычислено буквально несколько штук, никакой системы не просматривалось, и задача имела репутацию бездонной.

Трудность конкретна. Гомологии считать умеют: у них есть длинные точные последовательности, теорема о вырезании, аксиомы Эйленберга — Стинрода — целый арсенал. У гомотопических групп ничего этого нет: они не удовлетворяют вырезанию, и разрезать пространство на куски, чтобы посчитать по частям, нельзя.

Нужен был способ переводить гомотопические вопросы в гомологические.

Ход Серра

Жан-Пьер Серр (род. 1926), аспирант Анри Картана, защитил в 1951 году диссертацию «Homologie singulière des espaces fibrés» — «Сингулярные гомологии расслоённых пространств».

Идея состоит из двух частей, и обе красивы.

Первая: пространство путей. Для пространства $X$ с отмеченной точкой рассмотрим $PX$ — множество всех путей, начинающихся в этой точке. Оно стягиваемо: каждый путь можно постепенно укоротить до точки. Отображение «взять конец пути» задаёт расслоение

$$\Omega X\ \longrightarrow\ PX\ \longrightarrow\ X,$$

где слой $\Omega X$ — пространство петель (путей, вернувшихся в начало).

Ключевое свойство петель:

$$\pi_{m}(\Omega X)\cong\pi_{m+1}(X).$$

То есть переход к петлям понижает номер группы на единицу. Применив его несколько раз, любую высшую гомотопическую группу можно свести к первой или нулевой — которые считать умеют.

Вторая: спектральная последовательность. Для расслоения $F\to E\to B$ работает машина Лере: гомологии базы с коэффициентами в гомологиях слоя постепенно превращаются в гомологии всего пространства. Здесь $E=PX$ стягиваемо, значит его гомологии тривиальны, — и последовательность превращается в уравнение, из которого гомологии слоя $\Omega X$ выражаются через гомологии базы $X$.

Собирая всё вместе: гомотопии сводятся к гомологиям пространства петель, а те — к гомологиям исходного пространства. Задача становится вычислимой.

Что получилось

Теорема Серра (1951). При $m>n$ группы $\pi_m(S^{n})$ конечны — за единственным исключением: $\pi_{4k-1}(S^{2k})$ содержит бесконечную циклическую подгруппу.

Это первый общий результат за двадцать лет. Заодно Серр вычислил первые нетривиальные случаи ($\pi_{n+1}$ и $\pi_{n+2}$ для всех сфер) и доказал, что $\pi_m(S^{n})$ нетривиальна для бесконечно многих $m$.

Вторым его изобретением стала теория классов Серра («mod $\mathcal{C}$»): договорённость считать группы «равными», если они различаются лишь на элементы из заранее выбранного класса — скажем, на конечные группы или на группы с кручением определённого вида. Это позволяет вычислять «с точностью до» и получать ответы там, где точный ответ недостижим. Приём разошёлся далеко за пределы топологии.

Задача о гомотопических группах сфер, впрочем, не закрыта и сегодня: известны стабильные группы примерно до девяностого столбца, часть — с помощью компьютерной проверки, и никакой общей формулы не видно.

Автор

Филдсовскую медаль Серр получил в 1954 году, в двадцать семь лет — он остаётся самым молодым лауреатом за всю историю премии.

Дальше он сменил область — и сделал это ещё дважды.

• 1955, «Faisceaux algébriques cohérents» (точка в линии алгебры): пучки Лере переносятся в алгебраическую геометрию, и та перестраивается — прямая подготовка схем Гротендика.
• Теория чисел: гипотеза Серра о модулярных представлениях ГалуаЭварист Галуафранцузский математик · 1811–1832За двадцать лет жизни успел провалить экзамены, отсидеть в тюрьме и создать теорию групп — записанную начисто в ночь перед дуэлью. (доказана в 2009-м) — часть той же истории, что гипотеза Таниямы и программа Ленглендса.
• Гипотеза Серра о свободе проективных модулей над кольцом многочленов (1955) — доказана независимо Квилленом и Суслиным в 1976-м.

В 2003 году он стал первым лауреатом Абелевской премии. Известен как автор образцово ясных книг («Курс арифметики», «Алгебры Ли и группы Ли») и как самый строгий на свете слушатель докладов: сказать «это очевидно» в присутствии Серра решается не всякий.

Задача. Пользуясь соотношением $\pi_m(\Omega X)\cong\pi_{m+1}(X)$, объясните, почему знание гомологий пространства петель окружности даёт $\pi_2(S^{1})=0$.
(Указание: $\Omega S^{1}$ гомотопически эквивалентно множеству целых чисел — по числу оборотов, — то есть дискретному пространству. У дискретного пространства все $\pi_m$ при $m\geqslant1$ тривиальны, значит $\pi_2(S^{1})=\pi_1(\Omega S^{1})=0$.)

Следующая точка: Страсбург — где классификацию многообразий сведут к гомотопической задаче и получат ответ там, где его не ждали.