Кобордизмы

Отношение

Классифицировать многообразия с точностью до диффеоморфизма безнадёжно уже в размерности четыре. Том предложил заведомо более грубое отношение — и оказалось, что оно поддаётся полностью.

Замкнутые $n$-мерные многообразия $M$ и $N$ кобордантны, если существует компактное $(n+1)$-мерное многообразие $W$, границей которого служит их несвязное объединение: $\partial W=M\sqcup N$.

Наглядно: отрезок штанов сверху имеет одну окружность, снизу две — значит, окружность кобордантна паре окружностей. Всякая замкнутая кривая ограничивает диск — значит, любое одномерное многообразие кобордантно пустому.

Проверим, что это действительно отношение эквивалентности: рефлексивность даёт цилиндр $M\times[0,1]$, симметричность очевидна, транзитивность — склейка двух многообразий по общему краю.

Классы кобордизма образуют группу относительно несвязного объединения (нейтральный элемент — класс пустого многообразия, обратный к $M$ — само $M$, потому что $M\sqcup M$ ограничивает цилиндр). А прямое произведение многообразий задаёт умножение — получается кольцо кобордизмов $\mathfrak{N}_{*}$.

Результат

Теорема Тома (1954). Кольцо неориентированных кобордизмов есть кольцо многочленов над $\mathbb{Z}/2$:
$$\mathfrak{N}_{*}\ \cong\ \mathbb{Z}/2\,[x_2,x_4,x_5,x_6,x_8,\dots],$$
с одной образующей в каждой размерности, не равной $2^{k}-1$.

Полное описание. В размерностях 1, 3, 7, 15 образующих нет вовсе — там всякое многообразие ограничивает.

Проверим на малых размерностях. $\mathfrak{N}_0=\mathbb{Z}/2$: класс определяется чётностью числа точек. $\mathfrak{N}_1=0$: всякая замкнутая кривая ограничивает. $\mathfrak{N}_2=\mathbb{Z}/2$, порождается проективной плоскостью $\mathbb{RP}^{2}$: она не ограничивает, а вот тор и сфера ограничивают.

Что именно различает классы? Числа Штифеля — УитниХасслер Уитниамериканский математик · 1907–1989Доказал, что всякое абстрактное многообразие можно вложить в обычное пространство, — и этим сделал понятие многообразия законным. Его «трюк» определил, почему топология в размерностях выше четырёх проще, чем в… — характеристические классы, вычисляемые по многообразию; Том доказал, что они являются полной системой инвариантов кобордизма.

Как это доказано: конструкция Понтрягина — Тома

Метод важнее результата, и он замечателен тем, что переводит задачу из геометрии в гомотопию.

Идея такая. Вложим многообразие $M^{n}$ в сферу $S^{N}$ большой размерности и рассмотрим его нормальное расслоение. Окрестность $M$ выглядит как это расслоение; стянув всё остальное в точку, получим отображение

$$S^{N}\ \longrightarrow\ \mathrm{MO}(k),$$

где справа — так называемое пространство Тома нормального расслоения. Обратно, по отображению можно восстановить многообразие, взяв прообраз нулевого сечения (для этого нужна теорема о трансверсальности, тоже принадлежащая Тому).

Итог:

$$\{\text{классы кобордизма } n\text{-мерных многообразий}\}\ \cong\ \pi_{N+n}\left(\mathrm{MO}(N)\right).$$

Геометрическая классификация оказалась гомотопической группой. А гомотопические группы, при всей их трудности (точка о Хопфе), — предмет, для которого есть аппарат: спектральные последовательности Лере, методы СерраЖан-Пьер Серрфранцузский математик · род. 1926Самый молодой филдсовский лауреат в истории — двадцать семь лет — и первый абелевский. Дважды переменил предмет и оба раза оставил после себя аппарат, которым пользуются все.. Том вычислил нужные группы и получил ответ.

ПонтрягинЛев Семёнович Понтрягинсоветский математик · 1908–1988Ослеп в тринадцать лет и всё считал в уме; построил двойственность топологических групп, характеристические классы и принцип максимума — три вещи из разных наук, каждая из которых пережила автора. пришёл к похожей конструкции раньше (1930-е — 1950-е), двигаясь в обратную сторону — от гомотопий к многообразиям; отсюда двойное название. Из этой линии впоследствии вырастет теория кобордизмов как обобщённой теории когомологий — один из главных инструментов современной топологии.

Теория катастроф

Вторая половина биографии Тома известна широкой публике куда лучше первой, и относиться к ней надо аккуратно.

В 1960–70-е годы Том развивает теорию катастроф — классификацию типовых способов, которыми положение равновесия системы может скачком измениться при плавном изменении параметров. Центральный результат строг и красив:

Если параметров не больше четырёх, то с точностью до гладкой замены координат существует ровно семь элементарных катастроф: складка, сборка, ласточкин хвост, бабочка и три омбилики.

Утверждение того же типа, что классификация правильных многогранников: бесконечное разнообразие сводится к короткому списку. Это прямое развитие линии Андронова и Понтрягина о структурной устойчивости.

А дальше началось то, что теорией не является. Книга Тома «Структурная устойчивость и морфогенез» (1972) и работы Кристофера Зимана предлагали применять катастрофы к биологии развития, психологии, экономике, социологии — тюремным бунтам, нервным срывам, биржевым крахам. В конце 1970-х последовала резкая критика (Сассман и Залер, 1977): модели, как правило, не проверялись, параметры подбирались задним числом, предсказательной силы не было.

Итог трезвый и стоит того, чтобы его проговорить: математическое ядро теории катастроф безупречно и работает — в оптике (каустики), в механике разрушения, в теории фазовых переходов, в анализе бифуркаций. А попытка применить классификацию туда, где нет ни уравнений, ни измеримых величин, была ошибкой, и она надолго испортила репутацию хорошей теории.

Том до конца жизни настаивал, что его интересовала не предсказательная модель, а язык описания качественных изменений. Он получил Филдсовскую медаль в 1958 году — за кобордизмы, задолго до всей этой истории.

Задача. Объясните, почему всякое замкнутое одномерное многообразие кобордантно пустому, и почему сфера $S^{2}$ кобордантна пустому, а проективная плоскость $\mathbb{RP}^{2}$ — нет.
(Указание: замкнутая кривая есть объединение окружностей, каждая ограничивает диск. Сфера ограничивает шар. А $\mathbb{RP}^{2}$ имеет нечётную эйлерову характеристику ($\chi=1$), тогда как у границы нечётномерного многообразия $\chi$ обязана быть чётной, — это уже полноценный инвариант кобордизма.)

Следующая точка: Принстон — где обнаружится, что «гладко» и «непрерывно» — разные вещи, причём автор открытия пытался доказать обратное.