Экзотические семимерные сферы

Что считалось очевидным

К середине 1950-х годов различие между «непрерывным» и «гладким» считалось техническим. Гладкое многообразие — это топологическое многообразие с согласованным атласом карт, в которых переходы дифференцируемы. Естественно было думать, что если такой атлас существует, то он по существу один: любые два должны быть эквивалентны.

Для размерностей до трёх это действительно так (Радо, Мойз). Джон Милнор (1931–2025), тогда двадцатипятилетний сотрудник Принстона, взялся проверить общий случай — и получил обратное.

Конструкция

Он рассматривал многообразия, полученные как расслоения со слоем $S^{3}$ над базой $S^{4}$. Такие расслоения классифицируются парой целых чисел; для каждой пары получается семимерное многообразие $M$.

Дальше Милнор действует с двух сторон.

Сверху: это сфера. С помощью теории Морса он строит на $M$ гладкую функцию ровно с двумя критическими точками — максимумом и минимумом. Есть теорема (её называют теоремой Риба): многообразие, допускающее такую функцию, гомеоморфно сфере. Значит, $M\cong S^{7}$ топологически.

Наглядно это можно понять так: если у «горы» ровно одна вершина и одна впадина и никаких перевалов, то, спускаясь по линиям градиента, всё многообразие расчёсывается на две шапки, склеенные по краю, — то есть на две полусферы.

Снизу: это не сфера. Милнор строит числовой инвариант — вычет по модулю 7, получаемый из сигнатуры восьмимерного многообразия, ограничиваемого нашим, и формулы Хирцебруха о сигнатуре. Инвариант гладкий: он определён только для гладкой структуры. У стандартной сферы он равен нулю; для подходящих параметров расслоения он оказывается ненулевым.

Вывод: многообразие гомеоморфно $S^{7}$, но диффеоморфизма нет. Существует «экзотическая» гладкая структура на семимерной сфере.

Милнор рассказывал потом, что начинал с намерением доказать, что все такие расслоения дают обычную сферу, и обнаружил противоречие в собственных выкладках — которое и оказалось открытием.

Двадцать восемь

В 1963 году Милнор вместе с Мишелем Кервером довёл дело до полного счёта. Классы гладких структур на $n$-мерной сфере образуют конечную группу $\Theta_n$ (относительно связной суммы), и её удалось вычислить почти для всех размерностей:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
$|\Theta_n|$	1	1	1	?	1	1	28	2	8	6	992

До шестой размерности структура единственна; в седьмой их двадцать восемь; дальше число скачет без всякой закономерности (в размерности 15 их 16256).

Знак вопроса в четвёртой размерности стоит до сих пор: гладкая четырёхмерная гипотеза ПуанкареАнри Пуанкарефранцузский математик, физик и философ науки · 1854–1912Последний универсал математики: создал топологию, увидел хаос там, где все видели порядок, и подошёл к теории относительности вплотную, не сделав последнего шага. — единственный неразрешённый случай. Что интересно, именно четвёрка оказалась исключительной и в другом сюжете: на $\mathbb{R}^{4}$, в отличие от всех прочих $\mathbb{R}^{n}$, гладких структур континуум (Дональдсон, 1982).

Что это значит

Мораль стоит сформулировать прямо, потому что она контринтуитивна.

Гладкость — не свойство пространства, а дополнительная структура на нём. Одно и то же топологическое многообразие может нести разные несовместимые понятия «дифференцируемой функции». Существуют функции, гладкие в одном смысле и лишь непрерывные в другом, и никакой заменой координат согласовать это нельзя.

Отсюда — разделение топологии на три этажа, которое с тех пор считается основным: топологическая (непрерывные отображения), кусочно-линейная (PL) и дифференциальная (гладкие). В размерностях $\leqslant3$ все три совпадают; начиная с пятой различаются; четвёртая ведёт себя так, что до сих пор не разобрались.

Милнор

Филдсовская медаль 1962 года, премия Вольфа 1989-го, Абелевская премия 2011-го — редкий полный набор. Ему же принадлежат:

• теория Морса в нынешнем изложении — книга 1963 года, которую читают до сих пор;
• гипотеза Милнора о K-теории полей, доказанная Воеводским (Филдсовская медаль 2002 года);
• работы по динамическим системам и голоморфной динамике;
• результат студенческих лет: девятнадцатилетним он доказал теорему Фари — Милнора о том, что полная кривизна заузленной кривой не меньше $4\pi$ (задача была задана на семинаре как открытая, а он принял её за домашнюю).

Отдельно стоит его репутация автора учебников. «Topology from the Differentiable Viewpoint» — семьдесят страниц, на которых изложены степень отображения, трансверсальность, теорема Сарда и конструкция ПонтрягинаЛев Семёнович Понтрягинсоветский математик · 1908–1988Ослеп в тринадцать лет и всё считал в уме; построил двойственность топологических групп, характеристические классы и принцип максимума — три вещи из разных наук, каждая из которых пережила автора. — Тома; книга считается образцом того, как надо писать математику.

Задача. Объясните, почему существование двух неэквивалентных гладких структур на многообразии не противоречит тому, что они задают одну и ту же топологию.
(Указание: гомеоморфизм между ними существует, но он не может быть гладким ни в какой из двух структур. Аналогия: одно множество можно снабдить разными операциями умножения, получив неизоморфные группы, — множество то же, структура разная.)

Следующая точка: Энн-Арбор — где обнаружат закономерность, которую сам автор назвал чудом.