Лев Семёнович Понтрягин

Три результата Понтрягина стоят в трёх разных областях: двойственность — в гармоническом анализе, характеристические классы — в топологии, принцип максимума — в теории управления. Общего между ними мало, кроме того, что каждый оказался опорным.

Примус

Родился в 1908 году в Москве. В тринадцать лет дома взорвался примус; после неудачной операции он полностью ослеп.

Дальше произошло то, что трудно объяснить. Математике он учился на слух: мать, Татьяна Андреевна, математики не знавшая, читала ему вслух статьи и книги, описывая незнакомые значки по внешнему виду. Домашние прозвища для символов — «хвостики», «палочки» — он потом употреблял в разговоре всю жизнь. Записей почти не делал, всё держал в голове. В девятнадцать лет напечатал первую работу, в двадцать шесть стал профессором МГУ.

Двойственность

Теорема Понтрягина о двойственности (1934) объясняет вещь, которая до неё выглядела набором совпадений. Ряд Фурье на окружности, интеграл Фурье на прямой, дискретное преобразование на конечной группе — почему всё это одно и то же с виду?

Потому что гармонический анализ живёт не на отрезке и не на прямой, а на группе. Всякой локально компактной коммутативной группе отвечает двойственная — группа её характеров, — и двойственная к двойственной есть исходная. Окружность двойственна целым числам, прямая — сама себе, конечная группа — сама себе. Три разных преобразования Фурье оказываются тремя случаями одного.

Классы и кобордизмы

В топологии ему принадлежат характеристические классы Понтрягина — целочисленные инварианты, строящиеся по кривизне связности на гладком многообразии. Они и стали тем предметом, о котором через тридцать лет С. П. Новиков доказал неожиданное: рациональные классы Понтрягина не зависят от гладкой структуры вовсе, это топологический инвариант. Понтрягинские же конструкции лежат в основании теории кобордизмов и всплывают в теореме об индексе.

Грубые системы и принцип максимума

С физиком Александром Андроновым в 1937 году он ввёл понятие грубой системы — динамической системы, качественная картина которой не меняется при малом возмущении. Это начало теории структурной устойчивости: важны не столько конкретные траектории, сколько то, что уцелеет, если чуть тронуть уравнения.

В пятидесятые Понтрягин, к тому времени уже потерявший интерес к чистой топологии, занялся задачами оптимального управления — и с учениками получил принцип максимума Понтрягина, необходимое условие оптимальности траектории. Из него выросла вся инженерная теория управления; по числу практических применений это, вероятно, самый используемый его результат.

Другая сторона

Портрет будет неполным без второй половины. В 1970–80-е годы, будучи фигурой влиятельной и в Академии, и в международных математических структурах, Понтрягин участвовал в решениях, о которых спорят до сих пор: с его позицией связывают, в частности, то, что кандидатура Арнольда на Филдсовскую медаль 1974 года не была поддержана советской стороной. Его поздние публицистические выступления и мемуары вызывали и вызывают тяжёлые оценки.

Приговор здесь выносить незачем, но и умалчивать не стоит: в математике человеческое и профессиональное расходятся чаще, чем принято думать.

Умер в 1988 году в Москве.