Ляпунов: общая задача об устойчивости движения

Вопрос

Александр Михайлович Ляпунов. Из юбилейного издания Харьковского университета, 1908автор неизвестен · Public domain

Механическая система выведена из положения равновесия чуть-чуть. Вернётся ли она обратно — или отклонение начнёт расти?

Вопрос старый: Лагранж и Дирихле знали, что минимум потенциальной энергии даёт устойчивость. Но для общих систем — с трением, с вращением, с неконсервативными силами — ответа не было. А точное решение уравнений движения в большинстве случаев недостижимо: задача трёх тел уже не решается в квадратурах.

Александр Михайлович Ляпунов (1857–1918), ученик Чебышёва, профессор Харьковского университета, защитил в 1892 году докторскую диссертацию «Общая задача об устойчивости движения». Защита проходила в Москве, работа написана в Харькове.

Первое, что он сделал, — дал определение. До него слово «устойчивость» употребляли, не уточняя смысла, и споры о том, устойчива ли Солнечная система, шли на разных языках.

Устойчивость по Ляпунову. Положение равновесия устойчиво, если для всякого $\varepsilon>0$ найдётся $\delta>0$ такое, что при $|x(0)|<\delta$ будет $|x(t)|<\varepsilon$ при всех $t>0$.

Если вдобавок $x(t)\to0$, устойчивость называется асимптотической.

Формулировка дословно повторяет по структуре определение предела «на языке $\varepsilon$–$\delta$» (Коши и Вейерштрасс) — строгость анализа приходит в механику.

Первый метод: линеаризация

Разложим правую часть системы $\dot x=f(x)$ около равновесия $x=0$:

$$\dot x = A x + o(|x|),\qquad A=\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{0}.$$

Ляпунов доказал: если все собственные значения матрицы $A$ имеют отрицательные вещественные части, равновесие асимптотически устойчиво; если хотя бы одно имеет положительную — неустойчиво.

А если есть собственные значения с нулевой вещественной частью — линеаризация не отвечает, и нужно смотреть на отброшенные нелинейные члены. Это критический случай, и его разбору посвящена значительная часть диссертации.

Второй метод: функции Ляпунова

Главное изобретение, и оно замечательно тем, что позволяет судить о движении, не решая уравнений.

Теорема Ляпунова. Пусть в окрестности нуля существует функция $V(x)$ такая, что $V(0)=0$, $V(x)>0$ при $x\ne0$, и вдоль траекторий системы
$$\dot V=\nabla V\cdot f(x)\ \leqslant\ 0 .$$
Тогда равновесие устойчиво. Если $\dot V<0$ при $x\ne0$, то асимптотически устойчиво.

Маятник с трением: траектория пересекает линии уровня энергии только внутрьMathLocus · построено для этого сайта

Смысл прозрачен: $V$ — это «обобщённая энергия», которая не растёт. Раз она не растёт, траектория не может уйти за пределы множества $\{V\leqslant c\}$, а такие множества стягиваются к нулю.

Пример. Маятник с трением: $\ddot\theta+k\dot\theta+\sin\theta=0$, или в виде системы $\dot\theta=\omega$, $\dot\omega=-k\omega-\sin\theta$. Возьмём полную энергию

$$V=\frac{\omega^{2}}{2}+(1-\cos\theta).$$

Она положительна вне нуля, а вдоль траекторий

$$\dot V=\omega\dot\omega+\dot\theta\sin\theta=\omega(-k\omega-\sin\theta)+\omega\sin\theta=-k\omega^{2}\leqslant0 .$$

Устойчивость доказана в три строки, а уравнение мы не решали и решить не можем — оно нелинейно.

Красота метода в том, что $V$ не обязана быть энергией: годится любая функция с нужными свойствами. Беда — в том, что общего способа её построить нет; поиск функции Ляпунова остаётся искусством, и сегодня им занимаются в том числе численно, оптимизацией по семействам многочленов.

Показатели Ляпунова

Из той же работы вырос ещё один инструмент. Определим

$$\lambda=\limsup_{t\to\infty}\frac1t\ln|x(t)|$$

— характеристический показатель Ляпунова, скорость экспоненциального расхождения близких траекторий.

Положительный старший показатель означает, что сколь угодно близкие начальные условия расходятся экспоненциально: это и есть современное рабочее определение динамического хаоса. Ляпунов вводил показатели для другого, но именно через них в 1960-е годы будет определяться чувствительность к начальным данным — от погоды до двойного маятника.

Почему точка стоит в топологии

Ляпунов — механик и аналитик, и, казалось бы, топология тут ни при чём. Но связь прямая, и она задаёт целую ветвь линии.

Одновременно с ним и независимо тем же занимался Пуанкаре: его работа о задаче трёх тел (1890) и «Analysis situs» (1895) выросли из одной и той же потребности — говорить о поведении траекторий качественно, когда решить уравнение нельзя. Топология и качественная теория дифференциальных уравнений родились как две стороны одного дела.

Дальше эта ветвь идёт по карте отчётливо: Андронов и Понтрягин вводят структурную устойчивость — устойчивость не траектории, а всей картины целиком; Том строит теорию катастроф; Смейл создаёт гиперболическую динамику. На карте эти точки собраны в отдельную нить устойчивости.

Человек

Ляпунов работал в Харькове с 1885 по 1902 год, затем в Петербурге. Его результаты по фигурам равновесия вращающейся жидкости — отдельный сюжет, включающий многолетнюю полемику с Пуанкаре о том, устойчивы ли грушевидные фигуры (прав оказался Ляпунов).

Конец его биографии трагичен. В 1917 году он уехал с тяжело больной женой в Одессу; она умерла 31 октября 1918 года, и в тот же день он выстрелил в себя, скончавшись через три дня. В предсмертной записке он просил похоронить его вместе с женой.

Метод, придуманный для небесной механики, работает сегодня в теории автоматического управления (проверка устойчивости регуляторов), в робототехнике, в энергетике и — с 2010-х — в машинном обучении, где функциями Ляпунова доказывают сходимость алгоритмов обучения и устойчивость нейросетевых регуляторов.

Задача. Для системы $\dot x=-x^{3}$ линеаризация даёт $\dot x=0$ — нулевое собственное значение, случай критический. Возьмите $V=x^{2}$ и докажите асимптотическую устойчивость напрямую.
(Ответ: $\dot V=2x\dot x=-2x^{4}<0$ при $x\ne0$. Устойчивость есть, хотя линейное приближение о ней ничего не говорит, — ровно тот случай, ради которого нужен второй метод.)

Следующая точка: Париж — где из той же потребности говорить о траекториях качественно родится вся дисциплина сразу.