Гипотеза Пуанкаре — на пляжах Рио

Неожиданный порядок

Вопрос Пуанкаре был задан в 1904 году для трёхмерных многообразий: если всякая петля стягивается, обязано ли многообразие быть сферой?

Обобщение на любую размерность формулируется так же: замкнутое $n$-мерное многообразие, гомотопически эквивалентное $S^{n}$, гомеоморфно $S^{n}$.

Естественно было ожидать, что чем меньше размерность, тем легче. Вышло наоборот:

Исходный случай оказался последним и самым трудным, а «непредставимые» высокие размерности сдались первыми.

Почему в высоких размерностях легче

Причина конкретна и называется трюком УитниХасслер Уитниамериканский математик · 1907–1989Доказал, что всякое абстрактное многообразие можно вложить в обычное пространство, — и этим сделал понятие многообразия законным. Его «трюк» определил, почему топология в размерностях выше четырёх проще, чем в….

Пусть два подмногообразия пересекаются в двух точках с противоположными знаками — то есть «лишнее» пересечение, которое хочется убрать. Уитни (1944) показал, как это сделать: соединяем две точки пересечения путями внутри каждого подмногообразия, получаем замкнутую петлю, натягиваем на неё диск и сдвигаем одно подмногообразие вдоль этого диска — пересечения сокращаются.

Всё держится на том, чтобы диск можно было вложить без самопересечений. Диск двумерен; чтобы два двумерных объекта в общем положении не пересекались, нужна размерность больше $2+2$, то есть не меньше пяти.

В размерности четыре диск неизбежно самопересекается, и трюк ломается. В размерности три места ещё меньше. Отсюда вся картина: высокие размерности просторны, низкие тесны, и техника, работающая наверху, внизу неприменима.

Теорема об h-кобордизме

Смейл доказал не саму гипотезу напрямую, а более сильное утверждение, из которого она следует.

Теорема об h-кобордизме (1960). Пусть $W$ — компактное односвязное $(n+1)$-мерное многообразие, $n\geqslant5$, границей которого служат два односвязных многообразия $M$ и $N$, причём включения обеих границ являются гомотопическими эквивалентностями. Тогда $W$ диффеоморфно цилиндру $M\times[0,1]$, и в частности $M$ диффеоморфно $N$.

Доказательство ведётся теорией Морса: на $W$ строится функция, критические точки которой попарно сокращаются — и вот тут-то нужен трюк Уитни. Когда критических точек не остаётся, многообразие оказывается цилиндром.

Гипотеза Пуанкаре получается так: вырезаем из гомотопической сферы два диска, применяем теорему к остатку и заклеиваем обратно.

Есть тонкость, которую стоит отметить: доказывается гомеоморфизм, а не диффеоморфизм. И это не недосмотр — Милнор уже показал, что диффеоморфизма может и не быть.

Пляжи

История с фразой известна широко, и стоит изложить её точно.

Смейл был активным участником движения против войны во Вьетнаме и одним из организаторов протестов в Беркли; в 1966 году его вызвали повесткой в Комиссию по расследованию антиамериканской деятельности, а Национальный научный фонд, финансировавший его поездки, подвергся упрёкам конгресса в том, что деньги налогоплательщиков расходуются на отдых за границей.

Отвечая на это, Смейл заметил, что лучшие свои работы он сделал «на пляжах Рио» — и это была чистая правда: в 1960 году он работал в бразильском институте IMPA и, по собственному рассказу, действительно проводил утра на пляже Копакабаны с блокнотом, а во второй половине дня — в институте.

Дальнейшее было драматично: в 1966 году, отправляясь на Международный конгресс в Москву получать Филдсовскую медаль, он оказался под угрозой лишения финансирования, а в Москве дал у здания университета пресс-конференцию с критикой действий и США во Вьетнаме, и СССР в Венгрии, — после чего у него были неприятности с обеих сторон.

Смейл помимо этого

Выворачивание сферы наизнанку (1958). Смейл доказал, что двумерную сферу в трёхмерном пространстве можно продеформировать в вывернутую наизнанку, допуская самопересечения, но не допуская изломов и разрывов. Результат настолько противоречит интуиции, что получил название парадокса Смейла; сам он явной деформации не предъявил, доказательство было косвенным, и первые наглядные конструкции появились годы спустя (сегодня есть отличные анимации).

Подкова Смейла (1967). Простая геометрическая конструкция — растянуть квадрат, согнуть подковой и вложить обратно, — порождающая хаотическую динамику с бесконечным числом периодических орбит. Она дала образцовый пример гиперболической системы и стала мостом между топологией и теорией динамических систем; отсюда же — его контрпример к надежде, что грубые системы плотны в высоких размерностях.

Восемнадцать проблем Смейла (1998) — список задач для XXI века, составленный по образцу гильбертовского. В нём и гипотеза РиманаБернхард Риманнемецкий математик · 1826–1866Прожил тридцать девять лет и оставил около десяти работ — из которых выросли современная геометрия, теория функций комплексного переменного и главная нерешённая задача математики., и $\mathrm{P}\ne\mathrm{NP}$, и задачи о динамике.

Задача. Объясните, почему трюк Уитни требует размерности не меньше пяти. (Указание: два подмногообразия размерностей $p$ и $q$ в объемлющем многообразии размерности $n$ в общем положении пересекаются по размерности $p+q-n$; чтобы двумерный диск не пересекал сам себя, нужно $2+2-n<0$, то есть $n\geqslant5$.)

Следующая точка: Оксфорд — где число решений уравнения окажется топологической величиной.