Майкл Фридман

Фридманов на карте трое, и по-русски их пишут одинаково. Майкл — топология. Александр Фридман — космология, расширяющаяся Вселенная. Харви Фридман — математическая логика.

Ручки Кассона

Гипотезу Пуанкаре брали с двух концов. Смейл в 1960 году закрыл все размерности от пяти, потому что там хватало места для трюка Уитни: два пересекающихся куска растаскиваются диском, и диск удаётся разместить, не задевая ничего лишнего.

В четырёх измерениях места нет. Диск неизбежно пересекает сам себя, и вместо него получается бесконечно ветвящаяся конструкция — «ручка Кассона», башня из вложенных друг в друга самопересечений, уходящая вглубь без конца. Двадцать лет считалось, что это непреодолимо.

Фридман доказал, что нет: ручка Кассона гомеоморфна обычной ручке. Не диффеоморфна — гладкость на этом пути теряется безвозвратно, — но топологически всё в порядке. Доказательство было предельно тяжёлым: разбор бесконечной башни с оценками, которые надо было провести до конца.

Отсюда сразу следует четырёхмерная гипотеза Пуанкаре в топологической постановке.

Все многообразия сразу

Получив инструмент, Фридман немедленно сделал больше.

Теорема Фридмана (1982). Замкнутые односвязные топологические четырёхмерные многообразия классифицируются формой пересечений — целочисленной квадратичной формой на второй группе гомологий — вместе с одним дополнительным инвариантом $\mathbb{Z}/2$. И каждая унимодулярная форма реализуется.

Это редкий случай полной классификации в топологии многообразий, и получена она там, где её меньше всего ждали.

Филдсовская медаль 1986 года.

Что из этого вышло

Соединение с чужим результатом дало то, ради чего эта история и рассказывается. Годом раньше Дональдсон доказал, что для гладких многообразий положительно определённая форма пересечений обязана быть диагональной.

Складываем. Фридман: любая форма реализуется топологически. Дональдсон: почти никакая — гладко. Значит, есть четырёхмерные многообразия вовсе без гладкой структуры (например, с формой $E_8$), и есть топологические многообразия с разными гладкими структурами. Крайний случай — обычное $\mathbb{R}^{4}$: гладкая структура на $\mathbb{R}^{n}$ единственна при всех $n$, кроме четырёх, а при $n=4$ их континуум.

Трёхмерный случай, с которого всё начиналось, остался последним и достался Перельману через двадцать лет.

Дальше

С 1997 года Фридман работает в Microsoft — сперва в исследовательском отделе, потом в лаборатории Station Q, созданной под его тему: топологические квантовые вычисления. Идея в том, чтобы хранить квантовое состояние не в частице, а в способе, которым заплетены траектории квазичастиц-анионов; такое состояние защищено от помех топологически, потому что мелкое возмущение косу не расплетает.

Тем самым он вернулся к тому же кругу, где стоят полином Джонса и квантовая теория поля Виттена, — только с другой стороны и с инженерной целью.