Петров: классификация гравитационных полей

Задача

Уравнения Эйнштейна нелинейны, и точных решений у них известно немного. Хуже того: два решения, записанные в разных координатах, выглядят совершенно по-разному, и понять, не одно ли это и то же, — отдельная нетривиальная работа. Нужен инвариантный признак, вычисляемый из метрики и не зависящий от координат.

Петров предложил искать его в алгебраическом строении кривизны.

Разложим тензор Римана на части. В четырёхмерии у него 20 независимых компонент; из них 10 составляют тензор Риччи $R_{\mu\nu}$, который уравнениями Эйнштейна прямо привязан к материи, находящейся в этой самой точке. Оставшиеся 10 образуют бесследовую часть — тензор Вейля $C_{\mu\nu\rho\sigma}$:

$$C_{\mu\nu\rho\sigma}=R_{\mu\nu\rho\sigma}-\left(g_{\mu[\rho}R_{\sigma]\nu}-g_{\nu[\rho}R_{\sigma]\mu}\right)+\tfrac13 R\,g_{\mu[\rho}g_{\sigma]\nu}.$$

Тензор Вейля — это та часть кривизны, которая не определяется локально материей. В вакууме ($T_{\mu\nu}=0$, следовательно $R_{\mu\nu}=0$) весь тензор Римана сводится к вейлевскому. Именно он описывает приливные силы, гравитационные волны и поле вдали от источника — всё то, что делает гравитацию гравитацией. Классифицировать поля — значит классифицировать тензор Вейля.

Классификация

Ход Петрова: рассматривать тензор Вейля как линейный оператор на пространстве бивекторов (антисимметричных тензоров второго ранга) и изучать его собственные значения и жорданову структуру. В четырёхмерном пространстве лоренцевой сигнатуры пространство бивекторов шестимерно, и после комплексификации задача сводится к разбору жордановых форм комплексной матрицы $3\times3$ со следом нуль.

Возможных структур оказывается конечное число. Петров выделил три основных типа (в его нумерации I, II, III), а в позднейшей уточнённой схеме, дополненной Роджером Пенроузом, их шесть.

Пенроузовская форма изложения (1960) наглядна и стала общепринятой. Тензору Вейля сопоставляется однородный многочлен четвёртой степени; его корни задают четыре выделенных направления вдоль светового конуса — главные изотропные направления. Тип определяется тем, как эти четыре корня склеиваются:

Тип	Кратности корней	Что это физически
I	$1,1,1,1$	общий случай, «алгебраически общий»
II	$2,1,1$	алгебраически специальный
D	$2,2$	поле изолированного массивного тела: Шварцшильд, Керр
III	$3,1$	продольное поле
N	$4$	чистое излучение — гравитационная волна
O	тензор Вейля равен нулю	конформно-плоское пространство, например Фридман

Тип D («degenerate») — самый важный на практике: он описывает статические и стационарные чёрные дыры. Тип N — гравитационные волны, зарегистрированные LIGO в 2015 году.

Почему это работало

Классификация оказалась не описательной, а рабочей: она резко сужает поиск решений.

Ключ дала теорема Голдберга — Сакса (1962): вакуумное решение алгебраически специально (то есть не типа I) тогда и только тогда, когда в нём есть геодезический конгруэнтный пучок изотропных линий без сдвига. Это переводит алгебраическое условие в геометрическое и позволяет строить решения, задавая нужную структуру световых лучей заранее.

Именно так Рой Керр в 1963 году нашёл решение для вращающейся чёрной дыры: он искал среди метрик типа D. Задача, безнадёжная при лобовом переборе, стала обозримой. Метрика Керра — вероятно, самое астрофизически важное точное решение уравнений Эйнштейна: все известные чёрные дыры описываются ею.

Так же классификация используется при доказательстве теорем единственности: чёрная дыра в вакууме полностью определяется массой и моментом вращения — «у чёрных дыр нет волос».

Человек и город

Алексей Зиновьевич Петров (1910–1972) окончил Казанский университет, там же защитил докторскую (1957) и с 1960 года заведовал первой в СССР кафедрой теории относительности и гравитации. Работа 1954 года — «Классификация пространств, определяющих поля тяготения» — вышла в юбилейном сборнике «Учёных записок Казанского университета» (том 114, № 8, страницы 55–69), по-русски. На Западе её оценили после английского перевода и работ Пенроуза; сегодня выражение Petrov type входит в любой учебник ОТО. В апреле 1972 года Петрову присудили Ленинскую премию за цикл «Инвариантно-групповые методы исследования в теории гравитации»; через месяц он умер.

Главное здание Казанского университета — того самого, где за сто лет до Петрова читал ЛобачевскийLarakir88 · CC BY-SA 4.0

Совпадение адреса стоит проговорить, потому что оно не только красивое, но и содержательное. В 1826 году в Казани Лобачевский впервые предположил, что геометрия пространства не обязана быть евклидовой, и не смог это проверить. Через 128 лет в том же университете разбирают по алгебраическим типам кривизну реального пространства-времени, о существовании которой Лобачевский только догадывался. Казанская геометрическая школа — одна из немногих в мире, прожившая полтора века без перерыва, и это прямое следствие того, что здесь однажды случилось.

Задача. Убедитесь, что в вакууме ($R_{\mu\nu}=0$) тензор Вейля совпадает с тензором Римана, и объясните, почему из этого следует: гравитационное поле может существовать там, где материи нет вовсе. Сравните с электродинамикой — что там играет роль такого «поля без источника в данной точке»?

Следующая точка: Оксфорд — где выяснится, что число решений уравнения можно узнать, не решая его, а лишь посмотрев на форму пространства.