Карта → событие
ОТО: гравитация — это кривизна
Восемь лет пути
Дорога к ноябрю 1915-го была долгой, и её этапы стоит перечислить, потому что они показывают, как геометрия входила в физику по частям.
1907, Берн. Эйнштейн формулирует принцип эквивалентности: наблюдатель в свободно падающем лифте не может отличить своё состояние от невесомости в пустом пространстве. Он назвал эту мысль «самой счастливой в жизни». Следствие мгновенное и радикальное: тяготение локально уничтожается выбором системы отсчёта, значит, оно не может быть обычным силовым полем.
1908–1911. Осознание, что от гравитации нельзя избавиться глобально — иначе поле было бы фикцией. Локально можно, глобально нельзя: ровно так устроена кривизна. Плоскость касается сферы в точке, но не совпадает с ней.
1912–1913, Цюрих. Эйнштейн просит помощи у однокашника-математика Марселя Гроссмана, и тот приносит ему абсолютное дифференциальное исчисление Риччи и Леви-Чивиты. Появляется «Entwurf» — набросок теории, где метрика $g_{\mu\nu}$ уже играет роль гравитационного потенциала, но уравнения поля неверны: они не обладают общей ковариантностью.
1913–1915. Три года заблуждения. Эйнштейн даже «доказал» (ошибочно), что общековариантных уравнений быть не может, — так называемый аргумент дыры. Осенью 1915-го он находит ошибку и за месяц перестраивает теорию.
Ноябрь
| Дата | Что доложено |
|---|---|
| 4 ноября | возврат к общей ковариантности, уравнения $R_{\mu\nu}=\varkappa T_{\mu\nu}$ (ещё не окончательные) |
| 11 ноября | уточнение с дополнительным условием на след |
| 18 ноября | смещение перигелия Меркурия: 43″ за столетие — расхождение, известное с 1859 года, получено без единого подгоночного параметра. Заодно удвоено предсказание отклонения света |
| 25 ноября | окончательные уравнения поля |
Эйнштейн писал потом, что 18 ноября, увидев, как выходят те самые 43 угловые секунды, испытал сердцебиение и несколько дней не мог работать от волнения. Это тот редкий случай, когда теория объяснила давнюю аномалию, не будучи под неё построена.
Окончательный вид уравнений:
$$R_{\mu\nu}-\tfrac12 g_{\mu\nu}R=\frac{8\pi G}{c^{4}}\,T_{\mu\nu}.$$
Слева — геометрия (кривизна пространства-времени), справа — материя (плотности энергии, импульса и напряжений). Джон Уилер сформулировал содержание одной фразой: материя говорит пространству, как искривляться, а пространство говорит материи, как двигаться.
Вторая половина фразы — это уравнение геодезической, полученное ещё Риччи:
$$\frac{d^{2}x^{\mu}}{d\tau^{2}}+\Gamma^{\mu}_{\;\alpha\beta}\frac{dx^{\alpha}}{d\tau}\frac{dx^{\beta}}{d\tau}=0 .$$
Свободное тело движется по прямейшей линии искривлённого пространства-времени. Никакой силы тяготения в теории нет вообще — символы Кристоффеля заняли её место.
Почему уравнения именно такие
Полезно понять, что форма уравнений почти не оставляла выбора, и это чисто геометрическое обстоятельство.
Нужен тензор, построенный из метрики и её производных не выше второго порядка, симметричный, и с нулевой дивергенцией — иначе не сохранялась бы энергия. Из тождества Бьянки известно, что комбинация
$$G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\tfrac12 g_{\mu\nu}R$$
удовлетворяет $\nabla^{\mu}G_{\mu\nu}=0$ тождественно. Теорема Вермеля — КартанаЭли КартанДовёл до порядка классификацию Киллинга, придумал дифференциальные формы и связности — и двадцать лет считался автором работ, которых никто не читал. утверждает, что других таких тензоров (с точностью до слагаемого $\Lambda g_{\mu\nu}$) нет. Единственная оставшаяся свобода — космологическая постоянная $\Lambda$, которую Эйнштейн ввёл в 1917-м, потом назвал крупнейшей ошибкой жизни, а в 1998 году она вернулась под именем тёмной энергии.
Коэффициент $8\pi G/c^{4}$ определяется требованием, чтобы в пределе слабых полей и малых скоростей получалась ньютоновская теория. Проверим ключевой шаг этого предельного перехода. Пусть $g_{00}\approx-(1+2\varphi/c^{2})$, где $\varphi$ — ньютоновский потенциал, а движение медленное. Тогда в уравнении геодезической выживает единственный член:
$$\frac{d^{2}x^{i}}{dt^{2}}\approx-\Gamma^{i}_{\;00}c^{2}\approx-\frac{\partial\varphi}{\partial x^{i}} .$$
Это второй закон НьютонаИсаак НьютонСоздатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику. в поле тяготения. А уравнение поля в том же пределе превращается в уравнение ПуассонаСимеон Дени ПуассонЕго именем названы уравнение, скобка, формула суммирования и распределение — причём распределение он считал у себя второстепенной технической деталью. Известен и тем, что отверг рукопись Галуа. $\Delta\varphi=4\pi G\rho$. Ньютоновская гравитация — приближение, в котором искривлена только «временная» компонента метрики.
История с ГильбертомДавид ГильбертЧеловек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти.
Драматический сюжет, который обычно излагают неточно.
Давид Гильберт, увлёкшийся теорией гравитации после лекций Эйнштейна в Гёттингене летом 1915 года, подал свою работу 20 ноября — за пять дней до последнего доклада Эйнштейна. В ней уравнения выводились изящнее — из вариационного принципа с действием
$$S=\int R\sqrt{-g}\;d^{4}x,$$
сегодня оно называется действием Эйнштейна — Гильберта и составляет стандартный способ изложения предмета.
Долгое время на этом основании говорили о приоритете Гильберта. В 1997 году Лео Корри, Юрген Ренн и Джон Стэйчел обнаружили корректурные листы статьи Гильберта с типографской датой 6 декабря: в них уравнения поля в окончательной явной форме отсутствуют, а появляются лишь в печатном варианте, вышедшем в марте 1916 года, — то есть уже после публикации Эйнштейна. Сам Гильберт вопрос о приоритете не поднимал и говорил о теории как об эйнштейновской; знаменита его фраза, что в Гёттингене каждый уличный мальчишка понимает в четырёхмерной геометрии больше Эйнштейна, «и всё же теорию относительности создал Эйнштейн, а не математики».
Правильная формулировка такова: физическая теория — Эйнштейна, вариационная формулировка — Гильберта, и оба работали, зная о работе друг друга.
Что из этого вышло
Январь 1916. Карл Шварцшильд, находясь на русском фронте, присылает Эйнштейну точное решение уравнений для сферически-симметричного поля:
$$ds^{2}=-\left(1-\frac{r_{s}}{r}\right)c^{2}dt^{2}+\frac{dr^{2}}{1-r_{s}/r}+r^{2}d\Omega^{2},\qquad r_{s}=\frac{2GM}{c^{2}} .$$
Через несколько месяцев Шварцшильд умер от болезни, полученной на фронте. Величина $r_s$ впоследствии получит название гравитационного радиуса, а поверхность $r=r_s$ — горизонта чёрной дыры.
1919. Экспедиции Эддингтона наблюдают полное солнечное затмение и подтверждают отклонение света звёзд у края Солнца:
$$\delta=\frac{4GM}{c^{2}b}=1{,}75''$$
— вдвое больше того, что даёт наивный ньютоновский расчёт (лишний множитель 2 берётся из искривления пространственной части метрики). На следующее утро Эйнштейн проснулся всемирно знаменитым.
Дальше. Гравитационное красное смещение (Паунд и Ребка, 1959), запаздывание сигнала (Шапиро, 1964), двойной пульсар Халса — ТейлораБрук ТейлорОпубликовал формулу, которой сегодня раскладывают всё подряд, — не заметив, что не проверил, сходится ли ряд и к той ли функции. (1974) как косвенное свидетельство гравитационных волн, прямая регистрация волн детекторами LIGO 14 сентября 2015 года, изображение тени чёрной дыры Телескопом горизонта событий в 2019-м. И бытовая проверка, которая идёт непрерывно: спутники GPS учитывают обе поправки — специальную (часы на орбите отстают на $7$ мкс/сутки из-за скорости) и общую (уходят вперёд на $45$ мкс/сутки из-за меньшего потенциала). Без учёта суммарных $38$ микросекунд в сутки навигация уезжала бы на десять километров в день.
Цепочка на карте выходит прямая и короткая: Гёттинген 1854 → Падуя 1892 → Кёльн 1908 → Берлин 1915. Шестьдесят один год от чистой математики до физической теории, которая сегодня работает в каждом телефоне.
Задача. Оцените гравитационный радиус Земли ($M=5{,}97\cdot10^{24}$ кг) и Солнца ($M=1{,}99\cdot10^{30}$ кг).
(Ответ: $r_s=2GM/c^{2}$ даёт около $8{,}9$ мм для Земли и $2{,}95$ км для Солнца. Отсюда видно, насколько слабо искривлено пространство-время в Солнечной системе: $r_s/R\sim10^{-9}$ для Земли и $4\cdot10^{-6}$ для Солнца — и почему Лобачевский ничего не смог измерить.)
Следующая точка: Цюрих — где через три года попробуют тем же приёмом присоединить к гравитации электричество, ошибутся в физике и угадают всю дальнейшую математику.