Брук Тейлор

Формулу Тейлора учат все. Её автор напечатал её в 1715 году в трёх строчках как частный случай общего рассуждения, не придав ей особого значения, — и умер, не увидев, чем она станет.

Джентльмен

Из состоятельной семьи в Эдмонтоне; отец был человеком властным и от занятий музыкой и живописью сына не отвращал — обе темы потом отразились в его работах. Кембридж, Тринити-колледж; в двадцать семь лет — член Королевского общества, вскоре его секретарь.

Он входил в комиссию, разбиравшую спор Ньютона с Лейбницем, и был убеждённым ньютонианцем — что стоило ему тяжёлой полемики с континентальными математиками.

Ряд

«Methodus incrementorum directa et inversa» (1715) — книга о конечных разностях, из которой в предельном переходе получается разложение

$$f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \frac{f''(x)}{2!}h^2 + \frac{f'''(x)}{3!}h^3 + \cdots$$

Ряды такого вида умели строить и до него: Мадхава и керальская школа в XIV–XV веках знали разложения синуса, косинуса и арктангенса; Ньютон, Грегори и Иоганн Бернулли получали частные случаи. Заслуга Тейлора — общая формула для произвольной функции, выписанная явно.

Вопросов, без которых сегодня формулу не рассказывают, у него не возникало. Сходится ли ряд? К той ли функции сходится? Первое разобрал Коши, он же предъявил знаменитый контрпример ко второму:

$$f(x) = e^{-1/x^2},\quad f(0)=0$$

— функция бесконечно гладкая, все производные в нуле равны нулю, ряд Тейлора тождественно нулевой, а сама функция нулю не равна. Остаточный член в форме Лагранжа и Пеано появился позже; именно он превращает формулу в рабочий инструмент.

Название «ряд Тейлора» ввёл Лагранж в 1772 году, назвав его «основанием всего дифференциального исчисления».

Остальное

В той же книге — уравнение колеблющейся струны, за тридцать лет до Даламбера, и задача о центре качания. «Линейная перспектива» (1715) — строгая математическая теория перспективы, из которой позже выросла проективная геометрия; книгу считали непонятной, зато художники ею пользовались.

Тейлор рано овдовел дважды (первая жена умерла родами, вторая тоже), последние годы болел и математикой почти не занимался. Умер в сорок шесть лет.