Теория распределений: дельта-функция узаконена

Уточнение географии

Исходная версия относит открытие к Нанси. Уточнение по биографии: Лоран Шварц (1915–2002) — еврей и троцкист, в оккупированной Франции живший по подложным документам под именем Лоран Мари Селимартен, — работал в эвакуированном в Клермон-Ферран Страсбургском университете, где в 1943 году защитил диссертацию, а затем скрывался в деревне под Греноблем. Ключевая ночь — ноябрь 1944 года; сам Шварц назвал её прекраснейшей ночью своей жизни. В 1944–45 учебном году он преподавал в Гренобле, а профессором в Нанси стал в 1945-м; там теория была развёрнута и опубликована.

Для карты корректнее: открытие — Клермон-Ферран/Гренобль, 1944; разработка и публикация — Нанси, 1945–1950.

Беззаконие, которое требовалось узаконить

К 1944 году физики полвека пользовались объектами, которых в математике не было.

Оливер Хевисайд (1890-е) построил операционное исчисление для расчёта телеграфных линий, обращаясь с оператором дифференцирования $p = d/dt$ как с числом: делил на него, извлекал из него корни. Математики от этого приходили в ярость; Хевисайд отвечал, что не отказывается от обеда только потому, что не до конца понимает пищеварение. Королевское общество печатать его перестало.

Поль ДиракПоль Дираканглийский физик-теоретик · 1902–1984Написал уравнение, из которого следовало существование античастиц, — и они нашлись. Ввёл дельта-функцию, которую математики двадцать лет считали недопустимой, а потом узаконили. (1927) ввёл функцию $\delta(x)$, «равную нулю всюду, кроме нуля, где она бесконечна», с условием

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\,dx = 1, \qquad \int f(x)\delta(x)\,dx = f(0).$$

Такой функции не существует. Функция, равная нулю почти всюду, имеет интеграл Лебега нуль — какое бы значение ни принимала в одной точке. Дирак это знал и называл свой объект «удобной фикцией».

Решение: перевернуть определение

Ключевая мысль Шварца: перестать спрашивать, чему объект равен в точке; спрашивать, как он действует на пробные функции.

Пробные функции. $\mathcal{D}(\Omega) = C_{c}^{\infty}(\Omega)$ — бесконечно дифференцируемые функции с компактным носителем. Такие существуют: классический пример

$$\varphi(x) = \begin{cases}\exp\left(\dfrac{1}{x^{2}-1}\right), & |x|<1,\\[4pt] 0, & |x|\geqslant1.\end{cases}$$

Гладкость в точках $\pm1$ обеспечивается тем же механизмом, что в контрпримере КошиОгюстен Луи Кошифранцузский математик · 1789–1857Первым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить. из точки о ряде Тейлора: экспонента гасит все производные.

Определение. Распределение (обобщённая функция) — непрерывный линейный функционал на $\mathcal{D}$.

Обычная функция как распределение. Локально интегрируемой $f$ сопоставляется функционал

$$T_{f}[\varphi] = \int f(x)\varphi(x)\,dx.$$

Разные функции (совпадающие почти всюду) дают один функционал — и это правильно.

Дельта-функция.

$$\delta[\varphi] = \varphi(0).$$

Всё. Никакой «бесконечности в нуле» — просто функционал вычисления в точке. Он линеен, непрерывен, определён безупречно и не порождается никакой функцией. Дирак был прав по существу и не мог быть прав по форме.

Самое красивое: всё дифференцируемо

Определение производной берётся у СоболеваСергей Львович Соболевсоветский математик · 1908–1989Ввёл обобщённые решения дифференциальных уравнений за девять лет до теории распределений Шварца — и пространства, без которых сегодня не пишется ни одна работа по уравнениям в частных производных. — из интегрирования по частям:

$$T'[\varphi] := -T[\varphi'].$$

Правая часть определена всегда, потому что $\varphi'$ тоже пробная функция. Следовательно:

Всякое распределение бесконечно дифференцируемо.

Это, пожалуй, самый эффектный факт всей линии. Двести лет анализа состояли в аккуратном выяснении того, что дифференцировать можно, а что нельзя (Вейерштрасс, показал, что «нельзя» — типичный случай). Шварц расширяет мир объектов так, что проблема исчезает.

Проверим на функции Хевисайда $H(x) = \mathbf{1}_{x>0}$:

$$H'[\varphi] = -H[\varphi'] = -\int_{0}^{\infty}\varphi'(x)\,dx = -\big[\varphi(x)\big]_{0}^{\infty} = \varphi(0) = \delta[\varphi].$$

$$\boxed{H' = \delta}$$

То, что физики писали десятилетиями, доказано в две строки.

Дальше по цепочке: $\operatorname{sgn} x = 2H(x)-1$, значит $(\operatorname{sgn})' = 2\delta$, и

$$\frac{d^{2}}{dx^{2}}|x| = 2\delta.$$

А производная самой дельты: $\delta'[\varphi] = -\varphi'(0)$.

Зачем это нужно: фундаментальные решения

Пусть $L$ — линейный дифференциальный оператор. Фундаментальным решением называется распределение $E$ с

$$LE = \delta.$$

Тогда решение уравнения $Lu = f$ даётся свёрткой $u = E * f$. Одно распределение решает уравнение сразу для всех правых частей.

Пример. В $\mathbb{R}^{3}$ для оператора ЛапласаПьер-Симон Лапласфранцузский математик, астроном и физик · 1749–1827Свёл небесную механику в пять томов, а теорию вероятностей — в один, и на полтора столетия задал образ мира, в котором будущее вычисляется из настоящего.

$$\Delta\left(-\frac{1}{4\pi|x|}\right) = \delta.$$

Это в точности утверждение, что кулоновский (или ньютоновский) потенциал точечного заряда решает уравнение Пуассона. Физики пользовались этим со времён ПуассонаСимеон Дени Пуассонфранцузский математик, механик и физик · 1781–1840Его именем названы уравнение, скобка, формула суммирования и распределение — причём распределение он считал у себя второстепенной технической деталью. Известен и тем, что отверг рукопись Галуа.; строгий смысл появился в 1945-м.

Общая теорема Мальгранжа — Эренпрайса (1954–55): любой линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами имеет фундаментальное решение. Красивая теорема существования, невозможная без языка распределений.

Преобразование Фурье наконец завершено

Классическое преобразование Фурье требует убывания функции на бесконечности. Шварц вводит пространство $\mathcal{S}$ быстро убывающих функций (все производные убывают быстрее любой степени) и умеренные распределения $\mathcal{S}'$ — функционалы на $\mathcal{S}$. Определение:

$$\hat T[\varphi] := T[\hat\varphi].$$

Теперь преобразование Фурье существует для любого умеренного распределения, включая константы, многочлены и саму дельту:

$$\hat\delta = 1, \qquad \hat{1} = 2\pi\delta, \qquad \widehat{e^{i\omega_0 x}} = 2\pi\delta(\omega-\omega_{0}).$$

Последнее соотношение — математическое выражение того, что чистый тон имеет одну спектральную линию. Радиотехники рисовали такие спектры полвека.

Здесь окончательно закрывается сквозная нить линии. В 1807 году ФурьеЖозеф Фурьефранцузский математик, физик и префект Изера · 1768–1830Утверждал, что любую функцию можно сложить из синусов, — и был не прав ровно настолько, чтобы математике понадобилось сто лет и три новые теории, чтобы разобраться. заявил, что любая функция раскладывается по синусам. Через 143 года выяснилось: это верно, если «функция» понимать как умеренное распределение, а «интеграл» — по ЛебегуАнри Лебегфранцузский математик · 1875–1941Предложил считать интеграл, разрезая не ось абсцисс, а ось значений, — и получил теорию, в которой предел и интеграл наконец можно менять местами.. Утверждение оказалось истинным ценой полной перестройки понятий, в него входящих.

Границы теории

Распределения нельзя перемножать. Шварц сам доказал (1954) теорему о невозможности: не существует ассоциативной алгебры, содержащей все распределения и согласованной с умножением непрерывных функций и с дифференцированием. Символ $\delta^{2}$ смысла не имеет.

Для квантовой теории поля это тяжело: там регулярно требуется перемножать полевые операторы, которые суть распределения. Отсюда расходимости, отсюда перенормировка. Обходные пути (алгебры Коломбо, волновой фронт Хёрмандера, микролокальный анализ) существуют, но общего решения нет.

Признание и приоритеты

Филдсовская медаль 1950 года (конгресс в Гарварде). Формулировка — за разработку теории распределений. Приезд едва не сорвался: США долго не давали визу человеку с троцкистским прошлым, вопрос решался на уровне госдепартамента.

Двухтомная «Théorie des distributions» вышла в 1950–1951 годах.

Шварц последовательно признавал предшественников: Соболева, давшего то же определение производной в 1935-м, Бохнера, Карлемана, Жевре, Дирака и Хевисайда. Его вклад — не отдельное определение, а исчисление: топология на пространстве пробных функций, двойственность, свёртка, преобразование Фурье, тензорное произведение — полноценная теория вместо набора приёмов.

Шварц был также заметной политической фигурой: выступал против войны в Алжире (за что был уволен из Политехнической школы), против войны во Вьетнаме и советского вторжения в Афганистан, защищал преследуемых математиков — Плюща, Массеру. И, между прочим, был серьёзным энтомологом, собравшим коллекцию в 20 000 бабочек.

Следующая точка: Принстон — призраки почивших величин реабилитированы.