Крейн и Мильман: крайние точки

Школьный факт, который хочется обобщить

Выпуклый многоугольник есть выпуклая оболочка своих вершин: любая его точка — среднее взвешенное вершин. То же для многогранника (Минковский, 1911). Вершина при этом характеризуется свойством, не упоминающим ни рёбер, ни граней.

Крайняя точка множества $K$ — такая точка, которая не является серединой никакого невырожденного отрезка, целиком лежащего в $K$.

Множество	Крайние точки
квадрат	четыре вершины
круг	вся окружность
полуплоскость	их нет
отрезок	два конца

Вопрос: верно ли, что выпуклое множество всегда восстанавливается по своим крайним точкам?

Ответ: нет, если не потребовать компактности

Полуплоскость уже показывает, что нужна ограниченность. Но и её мало. Возьмём единичный шар пространства $c_{0}$ — последовательностей, стремящихся к нулю, с нормой $\sup|x_{n}|$. Пусть $\|x\|\leqslant1$; тогда $x_{n}\to0$, и найдётся номер $N$ с $|x_{N}|<1/2$. Сдвинем эту координату на $\pm1/2$ — получим две точки шара, серединой которых является $x$.

У единичного шара пространства $c_{0}$ нет ни одной крайней точки. У шара пространства $L^{1}[0,1]$ — тоже ни одной (любую функцию можно разбить пополам по мере). Множество огромно, выпукло, замкнуто, ограничено — и «вершин» у него нет вовсе.

Различие с конечной размерностью ровно одно: там замкнутый шар компактен, здесь — нет.

Теорема

Теорема Крейна — Мильмана (1940). Пусть $K$ — компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства. Тогда
$$K=\overline{\operatorname{conv}}\,\big(\operatorname{ext}K\big)$$
— $K$ есть замыкание выпуклой оболочки множества своих крайних точек. В частности, крайние точки существуют.

Доказательство идёт через отделимость — то есть через теорему Хана — Банаха в геометрической форме. Берут функционал, рассматривают множество точек, где он достигает максимума («грань»), и применяют лемму Цорна к системе граней: минимальная грань и есть точка.

Работа вышла в «Studia Mathematica» — журнале, основанном во Львове БанахомСтефан Банахпольский математик · 1892–1945Дал функциональному анализу аксиомы и имя, а математике — образ школы, работающей в кафе за столиком с мраморной столешницей. и Штейнгаузом. Девятый том, 1940 год: одесские математики печатаются в львовском журнале за год до того, как война уничтожит и школу, и журнал, и большинство их авторов.

Где она всплывает

Линейное программирование. Линейная функция на многограннике достигает максимума в вершине — поэтому перебор вершин имеет смысл, и поэтому работает симплекс-метод и вообще вся техника Канторовича. Общая причина — принцип максимума Бауэра: выпуклая полунепрерывная сверху функция на выпуклом компакте достигает максимума в крайней точке.

Матрицы. Дважды стохастические матрицы (неотрицательные, с единичными суммами по строкам и столбцам) образуют выпуклый компакт; его крайние точки — в точности матрицы перестановок (Биркгоф, фон НейманДжон фон Нейманвенгеро-американский математик · 1903–1957Аксиоматизировал квантовую механику, основал теорию игр, придумал архитектуру компьютера и метод Монте-Карло — и всё это, по мнению современников, не напрягаясь.). Отсюда: всякое «размазанное» распределение назначений есть смесь честных назначений.

Квантовая механика. Состояния образуют выпуклое множество; смешанные состояния суть смеси, чистые состояния — это и есть крайние точки. Различие «чистое или смешанное» оказывается не физическим, а геометрическим.

Эргодическая теория. Инвариантные меры динамической системы образуют выпуклый компакт, а его крайние точки — в точности эргодические меры. Существование инвариантной меры доказали Крылов и Боголюбов в 1932-м; теорема Крейна — Мильмана объясняет, почему любую инвариантную меру можно разложить на эргодические.

Теорема Шоке (1956) довела дело до конца: вместо конечных комбинаций крайних точек — интеграл по мере на множестве крайних точек. В таком виде схема покрывает и классические теоремы о представлении: БернштейнаСергей Натанович Бернштейнрусский и советский математик · 1880–1968Доказал теорему Вейерштрасса о приближении, предъявив многочлены явно — и построив их из вероятностного рассуждения; первым в мире предложил аксиоматику теории вероятностей. о вполне монотонных функциях, Бохнера о положительно определённых, де Финетти об обмениваемых последовательностях.

Двое в Одессе

Марк Григорьевич Крейн (1907–1989) ушёл из дома в семнадцать лет, приехал в Одессу и, не имея никакого диплома, был принят в аспирантуру Одесского университета. К тридцати годам он один из ведущих аналитиков страны; вокруг него складывается одесская школа.

Дальше — то, что в биографиях этого поколения повторяется с обидной регулярностью. В послевоенные кампании его дважды лишали работы; в Академию наук СССР он избран не был; последние десятилетия работал не в университете, а в строительном институте. Премию Вольфа ему присудили в 1982 году — поехать за ней его не выпустили.

Именем Крейна названы пространства с индефинитной метрикой, теорема Крейна — Рутмана о положительных операторах (она понадобится в следующем поколении), теория струн Крейна, работы по проблеме моментов вместе с Ахиезером.

Давид Пинхусович Мильман (1912–1982) в 1970-е репатриировался в Израиль. Его сын Виталий Мильман довёл до окончательного вида теорему Дворецкого и создал асимптотическую геометрию банаховых пространств — направление, выросшее из работы Гротендика, к которой мы сейчас перейдём.

Следующая точка: Нанси, 1944 — дельта-функция становится законным математическим объектом.