Дворецкий: почти круглые сечения есть у всякого тела

Вопрос: бывают ли тела, нигде не круглые

В малых размерностях — сколько угодно. Сечения квадрата — отрезки, сечения куба — многоугольники; ни одного круга среди них нет и быть не может.

Вопрос ставится так: пусть тело выпукло и симметрично относительно центра, а размерность пространства велика. Можно ли устроить его так, чтобы ни одно плоское сечение через центр не было близко к кругу? А ни одно трёхмерное — к шару?

Интуиция говорит: конечно можно, ведь чем больше размерность, тем больше свободы у строителя. Интуиция ошибается ровно наоборот.

Формулировка

Теорема Дворецкого (анонс 1959, полное доказательство 1961). Для всяких $k$ и $\varepsilon>0$ найдётся такое $N(k,\varepsilon)$, что всякое нормированное пространство размерности не меньше $N$ содержит $k$-мерное подпространство, отличающееся от евклидова не более чем в $1+\varepsilon$ раз.

«Отличающееся не более чем в $1+\varepsilon$ раз» — это расстояние БанахаСтефан Банахпольский математик · 1892–1945Дал функциональному анализу аксиомы и имя, а математике — образ школы, работающей в кафе за столиком с мраморной столешницей. — Мазура

$$d(X,Y)=\inf\big\{\|T\|\cdot\|T^{-1}\|\;:\;T:X\to Y \text{ — изоморфизм}\big\},$$

равное единице для совпадающих пространств.

На языке геометрии: у всякого центрально-симметричного выпуклого тела достаточно высокой размерности есть $k$-мерные центральные сечения, сколь угодно близкие к эллипсоиду. Хочешь стомерное почти круглое сечение — возьми размерность побольше, и оно найдётся.

Сколько именно нужно измерений

Ответ на этот вопрос дал Виталий Мильман в 1971 году, и он оказался неожиданно скромным:

$$k\;\geqslant\;c\,\varepsilon^{2}\log N$$

измерений хватает. Логарифм — то есть требовать можно немного, зато плата за требование ничтожна.

Оценка точна, и предельный случай — куб:

Тело в $\mathbb{R}^{N}$	Почти круглые сечения бывают
куб, то есть $\ell_{\infty}^{N}$	размерности порядка $\log N$ — и не больше
кросс-политоп $\ell_{1}^{N}$	размерности, пропорциональной $N$ (Кашин, 1977)
шар $\ell_{2}^{N}$	все сечения круглые

Куб — самое «неевклидово» тело, какое бывает; у него почти круглые сечения самые редкие. Но и у него они есть.

Почему это правда: концентрация меры

Доказательство Мильмана объясняет явление одним словом.

В большой размерности сфера $S^{N-1}$ устроена контринтуитивно: почти вся её площадь сосредоточена в тонком поясе у любого наперёд выбранного экватора. Строго это выражает неравенство Леви: если $f$ — функция на сфере, не растягивающая расстояний, то

$$\sigma\big\{x:|f(x)-M_{f}|>t\big\}\;\leqslant\;2e^{-Nt^{2}/2},$$

где $M_f$ — медиана. Правая часть при большом $N$ исчезающе мала: всякая липшицева функция на сфере большой размерности почти постоянна почти всюду.

Теперь возьмём в качестве $f$ норму нашего тела, суженную на евклидову сферу. Она липшицева, значит, почти постоянна на подавляющей части сферы — а «норма постоянна на сфере» и означает «сечение круглое». Остаётся аккуратно выбрать случайное $k$-мерное подпространство и оценить вероятность промаха.

Отсюда и характер результата: сечение не строится, а обнаруживается — почти всякое случайное подходит. Тот же механизм заставляет работать лемму Джонсона — Линденштраусса о случайных проекциях, и это не совпадение: там тоже всё держится на концентрации меры.

Иерусалим, 1960

Вопрос поставил Гротендик в середине 1950-х. Ответ прозвучал на Международном симпозиуме по линейным пространствам, который проходил в Иерусалиме летом 1960 года; полное доказательство напечатано в трудах симпозиума в 1961-м.

Это первый большой результат израильской школы — Дворецкий, Линденштраусс, Мильман, — которая на полвека стала одним из главных центров дисциплины. Виталий Мильман, давший теореме её нынешний вид, — сын Давида Мильмана из одесской точки.

Что выросло

Из теоремы Дворецкого выросла асимптотическая геометрия — область, где изучают не одно бесконечномерное пространство, а семейства конечномерных, следя за тем, как константы зависят от размерности (и требуя, чтобы не зависели). Смена оптики оказалась плодотворной далеко за пределами чистой математики: на тех же оценках стоят современная теория случайных матриц, метод сжатых измерений в обработке сигналов и добрая половина техники работы с многомерными данными.

Человек

Арье Дворецкий (1916–2008) родился в Хороле Полтавской губернии; в 1922 году семья уехала в Палестину. Учился и работал в Еврейском университете в Иерусалиме. Кроме функционального анализа занимался теорией вероятностей — вместе с ЭрдёшемПал Эрдёшвенгерский математик · 1913–1996Полторы тысячи статей, пятьсот соавторов, ни дома, ни семьи, ни постоянной работы — сорок лет он ездил из университета в университет с одним чемоданом. ему принадлежат классические результаты о случайных блужданиях. С 1975 по 1985 год он был президентом Института Вейцмана.

Следующая точка: Москва, 1963 — ТихоновАндрей Николаевич Тихоновсоветский математик и геофизик · 1906–1993В двадцать лет доказал, что произведение любого числа компактов компактно; через сорок лет научил решать задачи, которые Адамар объявил не имеющими смысла, — и без этого не работала бы ни томография, ни… учится решать задачи, у которых устойчивого решения нет.