Ладыженская: уравнения Навье — Стокса

Уравнение

$$\frac{\partial u}{\partial t} + (u\cdot\nabla)u = -\nabla p + \nu\,\Delta u + f, \qquad \operatorname{div} u = 0.$$

Здесь $u(x,t)$ — скорость жидкости в точке, $p$ — давление, $\nu$ — вязкость. Три члена слева и справа читаются по-русски так:

$(u\cdot\nabla)u$ — жидкость несёт сама себя. Это единственный нелинейный член, и вся трудность в нём;
$\nu\Delta u$ — вязкость, размазывающая различия скоростей;
$\operatorname{div} u=0$ — несжимаемость: сколько втекло, столько вытекло.

Уравнение выписано Навье в 1822 году и Стоксом в 1845-м. Им пользуются полтора века: самолёты, трубопроводы, прогноз погоды, кровоток. Вопрос, который остаётся открытым, — не «как решать», а гораздо более неприятный:

Существует ли решение вообще — и не портится ли оно со временем?

Физическое имя этого вопроса — турбулентность. Гладкое течение может самопроизвольно измельчиться в вихри всё меньшего масштаба; математический вопрос в том, не уходит ли этот каскад в бесконечность за конечное время, то есть не обращается ли скорость или её градиент в бесконечность.

Что было до

Жан Лере (1934) — тот самый, который через шесть лет в лагере для военнопленных придумает теорию пучков (точка линии топологии). До плена он построил для трёхмерных уравнений слабые решения: они существуют глобально, для любых начальных данных с конечной энергией.

Ирония хронологии: Лере сделал это до Соболева. Пространств Соболева ещё не было, и Лере строил всё руками. Соболев годом позже дал этому языку имя и общую теорию — и с тех пор «слабое решение» и «пространство $H^{1}$» произносятся вместе.

Но слабые решения Лере не единственны и не обязаны быть гладкими, а без единственности решение мало чего стоит: уравнение перестаёт предсказывать.

Что сделала Ладыженская

Двумерный случай закрыт полностью (1958–1959): решение существует, единственно и гладко — навсегда, при любых разумных данных. Итог подведён монографией

«Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости» (1961; английский перевод 1963), —

которая до сих пор остаётся основной ссылкой по предмету.

Главный технический инструмент носит её имя:

$$\|u\|_{L^{4}(\mathbb{R}^{2})}^{2}\ \leqslant\ C\,\|u\|_{L^{2}}\,\|\nabla u\|_{L^{2}}.$$

Кроме того:

условия регулярности (Ладыженской — Проди — Серрина): если известно, что решение принадлежит $L^{s}_tL^{r}_x$ при $2/s+3/r\leqslant 1$, $r>3$, то оно автоматически гладкое. То есть особенность, если она есть, обязана быть очень мощной;
модифицированные уравнения (1967) с вязкостью, растущей вместе с градиентом скорости: такая модель корректна и в трёхмерии глобально. Честный инженерный ответ на математический тупик — и предшественник современных моделей турбулентности;
конечномерность аттрактора двумерной системы: сколь угодно сложное установившееся течение описывается конечным числом параметров. Турбулентность оказывается объектом теории динамических систем;
вместе с Ниной Уральцевой — теория квазилинейных эллиптических и параболических уравнений, завершившая, наряду с работами Де Джорджи (1957) и Нэша (1958), девятнадцатую проблему Гильберта. Их книга 1964 года — классика жанра.

Почему два измерения и три — разные вселенные

Здесь линия прямо продолжает точку о Соболеве, где эта разница была названа, но не объяснена.

Энергетическое тождество даёт бесплатно ровно две вещи:

$$u\in L^{\infty}_t L^{2}_x \quad\text{и}\quad \nabla u\in L^{2}_t L^{2}_x.$$

Чтобы совладать с нелинейным членом, нужно оценить $\int (u\cdot\nabla)u\cdot u$, а для этого нужна $u$ в $L^{4}$.

В двумерии неравенство Ладыженской даёт $\|u\|_{L^{4}}^{2}\leqslant C\|u\|_{L^{2}}\|\nabla u\|_{L^{2}}$ — справа стоит ровно то, что энергия и даёт. Оценка замыкается, дальше всё разматывается до гладкости.

В трёхмерии аналог выглядит так:

$$\|u\|_{L^{4}(\mathbb{R}^{3})}^{4}\ \leqslant\ C\,\|u\|_{L^{2}}\,\|\nabla u\|_{L^{2}}^{3}.$$

Градиент входит в третьей степени, а энергия даёт лишь вторую. Не хватает ровно одной степени — и оценка не замыкается.

Почему не хватает — видно из масштабирования. Уравнения Навье — Стокса инвариантны относительно преобразования

$$u_\lambda(x,t)=\lambda\,u(\lambda x,\lambda^{2}t),$$

и энергетическая норма при этом меняется как

$$\|u_\lambda(\cdot,0)\|_{L^{2}(\mathbb{R}^{n})}=\lambda^{1-n/2}\,\|u(\cdot,0)\|_{L^{2}}.$$

При $n=2$ показатель равен нулю: энергия инвариантна, она видит все масштабы одинаково — это критический случай, и его хватает.

При $n=3$ показатель равен $-1/2$: при увеличении масштаба энергия уменьшается. Значит, на мелких масштабах она ничего не контролирует — можно спрятать сколь угодно бурное движение в сколь угодно малую область, не заплатив энергией. Случай сверхкритический.

Вот и весь ответ на вопрос, почему двумерная задача решена в 1959 году, а трёхмерная не решена до сих пор. Не в технике дело: сохраняющаяся величина слишком слаба для той размерности, в которой мы живём.

Задача тысячелетия

В 2000 году Институт Клэя включил трёхмерные уравнения Навье — Стокса в список семи задач тысячелетия (формулировка Чарльза Феффермана, приз — миллион долларов). Требуется одно из двух: доказать, что для гладких начальных данных с конечной энергией гладкое решение существует всегда, — или построить пример, где оно разрушается за конечное время.

Насколько это трудно, показывает результат Теренса Тао (2016): он построил разрушение решения для усреднённого варианта уравнений — системы, у которой те же законы сохранения и то же масштабирование, но иначе устроена нелинейность. Смысл конструкции — барьер: любой метод, опирающийся только на энергию и масштабирование, обязан работать и для усреднённой системы, а там утверждение ложно. Значит, такими методами задачу не взять.

На сегодня задача остаётся открытой.

Человек

Ольга Александровна Ладыженская (7 марта 1922, Кологрив Костромской губернии — 12 января 2004, Санкт-Петербург).

Отец — Александр Иванович Ладыженский, школьный учитель математики; от него она получила первые уроки и, по её собственным словам, вкус к предмету. В 1937 году его арестовали и расстреляли; реабилитирован в 1956-м с формулировкой «за отсутствием преступления». Дядя погиб в лагере.

В 1939 году её не приняли на математико-механический факультет Ленинградского университета — как дочь репрессированного. Она поступила в Ленинградский педагогический институт и успела окончить два курса к началу войны; военные годы провела в Кологриве, преподавая математику в школе.

В 1943 году её приняли в Московский университет. Окончила в 1947-м, аспирантура в Ленинграде у В. И. Смирнова, кандидатская — 1949 (Москва, у Петровского), докторская — 1953. С середины 1950-х — в Ленинградском отделении Математического института имени Стеклова, с 1961 года заведовала лабораторией математической физики; профессор университета, куда её когда-то не приняли.

В партию не вступала. Хранила рукописи Солженицына; он назвал её среди двухсот пятидесяти семи свидетелей «Архипелага ГУЛАГ». Дружила с Ахматовой. Долгие годы была невыездной.

Член-корреспондент АН СССР — 1981, академик — 1990, президент Санкт-Петербургского математического общества в 1990–1998 годах. Умерла во сне 12 января 2004 года, за несколько дней до отъезда за границу.

Для карты в этом есть отдельная симметрия: дочь школьного учителя математики, которую не пустили в университет, закрыла двумерную задачу и точно объяснила, почему не поддаётся трёхмерная.

Замечание для карты: точка стоит на трёх линиях сразу — analysis, funcan и гильбертова нить. По содержанию она принадлежит всем трём: пространства Соболева как инструмент, уравнение как объект, девятнадцатая проблема как контекст.

Следующая точка: Принстон, 1960 — где выяснится, что призраки бесконечно малых можно реабилитировать законным образом.