Математический анализ

от парадоксов Зенона до нестандартного анализа

Сюжет в одном абзаце

Античный метод исчерпывания (Сиракузы) — разрозненные техники касательных и квадратур (Тулуза, Болонья, Париж) — синтез в универсальный алгоритм дважды и независимо (Вулсторп 1665–66, Париж 1675) — век блистательной нестрогости (Базель, Берлин, Петербург) — кризис от рядов Фурье (Париж, 1807) — полвека наведения строгости (Прага, Париж, Берлин, Гёттинген) — и в XX веке анализ сам становится «точкой» более общих пространств (Львов, Москва, Нанси).

О чём эта линия на самом деле

Если свести двадцать восемь точек к одному вопросу, он звучит так: что происходит на границе между конечным и бесконечным?

Площадь круга — предел площадей вписанных многоугольников. Мгновенная скорость — предел средних скоростей за всё более короткие промежутки. Сумма бесконечного ряда — предел частичных сумм. Каждый раз мы делаем нечто, чего не умеет делать арифметика: совершаем бесконечное число шагов и требуем осмысленного ответа.

Две с половиной тысячи лет ушли на то, чтобы понять, при каких условиях это законно. И характерная особенность этой истории: порядок открытий обратен порядку изложения. Мы учим анализ так: сначала вещественные числа, потом предел, потом производная, потом интеграл, потом ряды. История шла точно наоборот — сначала интегралы (Архимед, III в. до н. э.), потом производные (Ферма, 1629), потом ряды (Ньютон, 1665), потом предел (Коши, 1821) и лишь в самом конце вещественные числа (Дедекинд, 1872). Фундамент подводили под уже построенное здание — через двести лет после того, как настелили крышу.

Отсюда две вещи, которые полезно держать в голове при чтении.

Первая: нестрогость не значит неправильность. Эйлер получил $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$ рассуждением, которое не выдерживает никакой критики, — и ответ верен. Строгое обоснование его метода пришло через 120 лет (теорема Вейерштрасса о разложении в произведение). Математика умеет быть правой раньше, чем умеет объяснить почему.

Вторая: главный двигатель этой линии — не логика, а физика. Ньютон изобрёл флюксии, чтобы считать движение планет. Фурье изобрёл свои ряды, чтобы считать теплопроводность. Дирак ввёл дельта-функцию, чтобы считать квантовые амплитуды. Каждый раз физика требовала объекта, которого в математике не было, — и математика в конце концов его строила. Три последние точки линии (Соболев, Шварц, Робинсон) — это именно узаконивание того, чем нелегально пользовались десятилетиями.

Сквозная нить

Одна нить проходит через всю вторую половину линии, и её стоит проследить отдельно. Она начинается в 1807 году, когда Фурье заявляет, что любая функция раскладывается в тригонометрический ряд.

Фурье (1807: а что такое функция?) → Дирихле (1829: вот условия сходимости; вот новое определение функции) → Риман (1854: а что такое интеграл?) → Кантор (1872: а что такое множество точек расходимости?) → Лебег (1902: а что такое мера множества?) → Рисс и Фишер (1907: пространство $L^2$ полно — вот наконец правильный ответ Фурье) → Банах (1932: функция как точка пространства) → Колмогоров (1933: та же мера — фундамент теории вероятностей) → Карлесон (1966: ряд Фурье $L^2$-функции сходится почти всюду).

Один вопрос о теплопроводности породил теорию меры, теорию множеств, функциональный анализ и — через колмогоровскую аксиоматику — современную теорию вероятностей. Это, пожалуй, самая длинная причинно-следственная цепочка в истории математики.

Открыть на карте

1

Элея ок. 450 г. до н. э.
Парадоксы Зенона: Ахиллес и черепаха
Ахиллес никогда не догонит черепаху — если не уметь складывать бесконечно много слагаемых. По существу, это первый в истории вопрос о сходимости бесконечного ряда.
2

Афины ок. 370 г. до н. э.
Метод исчерпывания Евдокса
Евдокс Книдский строго обосновывает вычисление площадей и объёмов через последовательные приближения — аккуратно обходя запрещённую после Зенона актуальную бесконечность.
3

Сиракузы ок. 250–220 гг. до н. э.
Архимед: квадратура параболы и «Метод»
Архимед вычисляет площадь сегмента параболы суммой геометрической прогрессии, а в «Методе» раскрывает кухню: сначала найти ответ взвешиванием бесконечно тонких слоёв, потом доказать строго.
4

Каир ок. 1020
Ибн аль-Хайсам: суммы четвёртых степеней
Чтобы найти объём тела вращения параболы вокруг перпендикуляра к оси, нужна сумма четвёртых степеней. Ибн аль-Хайсам выводит её, доказывает индукцией и получает результат, которого не было у Архимеда.
5

Париж ок. 1350
Орем: первый график и расходимость гармонического ряда
Николай Орем рисует первый в истории график функции, доказывает теорему о среднем значении скорости через площадь под ним — и попутно показывает группировкой слагаемых, что гармонический ряд расходится.
6

Сангамаграма ок. 1400 г.
Ряды Мадхавы: анализ не там, где мы привыкли
Мадхава и его школа в Керале получают ряды для арктангенса, синуса и косинуса — «ряды Тейлора» за триста лет до Тейлора — и вычисляют π с 11 знаками.
7

Самарканд 1424
Ал-Каши: шестнадцать знаков числа π
Задача поставлена по-инженерному: чтобы у окружности диаметром в шестьсот тысяч земных ошибка не превышала толщины волоса. Точность, которую Европа догнала только в конце XVI века. Рядом — десятичные дроби «Ключа арифметики» и обсерватория Улугбека.
8

Линц 1615
Кеплер: винные бочки и второй порядок малости
Иоганн Кеплер, заподозрив виноторговца в обмане, пишет трактат об измерении объёма бочек, вычисляет девяносто два тела вращения бесконечно малыми — и попутно замечает, что вблизи максимума величина меняется во втором порядке малости.
9

Тулуза ок. 1629 г., в письмах с 1636-го
Ферма: экстремумы и касательные
Чтобы найти экстремум, дай аргументу малое приращение $e$, приравняй значения, раздели на $e$ — и положи $e = 0$. Это дифференцирование во всём, кроме названия.
10

Париж 1634
«Елена геометров»: циклоида
Роберваль находит площадь под циклоидой — втрое больше порождающего круга. Касательные к ней ищут сразу трое, тремя методами, со склокой о приоритете.
11

Болонья 1635
«Геометрия неделимых» Кавальери
Площадь — «сумма линий», объём — «сумма плоскостей». Нестрого, но работает: полвека Европа интегрирует именно так.
12

Флоренция 1641
Торричелли: бесконечная поверхность, конечный объём
Тело, уходящее в бесконечность, имеет конечный объём. Современники сочли это невозможным, Гоббс — обманом. Первый со времён Зенона результат, показавший, что интуиция о бесконечном ненадёжна.
13

Оксфорд 1656
Валлис: интерполяция, бесконечность и дорога к Ньютону
Джон Валлис вычисляет площади под $y=x^{n}$ «арифметически», вводит знак ∞ и получает своё бесконечное произведение для π методом интерполяции таблиц. Именно этот метод Ньютон переймёт и превратит в биномиальный ряд.
14

Кембридж 1664–1665
Барроу: касательные и площади взаимно обратны
Исаак Барроу, учитель Ньютона, фактически формулирует основную теорему анализа — в геометрическом облачении. Недостающий мост между двумя классами задач.
15

Вулсторп 1665–1666
Ньютон в чумные годы: метод флюксий
Кембридж закрыт из-за Великой чумы. 23-летний Ньютон на материнской ферме складывает метод флюксий, обратный метод, биномиальный ряд — и ничего не публикует.
16

Париж 29 октября 1675
Лейбниц: день рождения знака ∫
В рабочих записях Лейбница впервые появляется знак ∫ — стилизованная S от «summa». Редчайший случай: у математической нотации есть точный день рождения.
17

Париж 1696
Первый учебник анализа — и купленное правило
Маркиз де Лопиталь издаёт первый учебник анализа — включая «правило Лопиталя», купленное у Иоганна Бернулли буквально по контракту, за 300 ливров в год.
18

Гронинген 1696
Брахистохрона: вызов всей Европе
Иоганн Бернулли бросает Европе задачу о кривой скорейшего спуска. Из пяти решений вырастет вариационное исчисление — а кривой окажется старая знакомая, циклоида.
19

Лондон 1699–1716
Война о приоритете
Лондон против континента: обвинение Лейбница в плагиате и комиссия Королевского общества, отчёт которой анонимно написал… сам Ньютон. Цена склоки — век британского отставания.
20

Лондон 1715
Ряд Тейлора
Брук Тейлор публикует общую формулу разложения функции в степенной ряд — частные случаи которой знали Грегори, Ньютон и, по существу, Мадхава.
21

Дублин 1734
«Аналист»: призраки почивших величин
Епископ Беркли: бесконечно малые — «призраки почивших величин». Если $e$ сначала не нуль, а потом нуль — где логика? Уколы справедливы, ответа нет ещё девяносто лет.
22

Париж Берлин и Базель, 1747–1753
Спор о колеблющейся струне: что такое функция?
Кризис вопроса «что такое функция»

Даламбер решает уравнение струны и получает ответ, который Эйлер считает слишком узким, а Даниил Бернулли — слишком узким по-другому. Трое крупнейших математиков века не могут договориться, потому что не согласны в том, что такое функция.
23

Санкт-Петербург 1748–1770
Эйлер: анализ как наука о функциях
Трилогия Эйлера ставит в центр анализа понятие функции и объединяет экспоненту с тригонометрией формулой $e^{ix} = \cos x + i\sin x$.
24

Париж 21 декабря 1807
Мемуар Фурье: любая функция — сумма синусов?
Фурье заявляет Институту Франции: любая функция раскладывается в тригонометрический ряд. Комиссия отказывает за нестрогость — а вопрос «для каких функций он прав?» породит полвека строгого анализа.
25

Прага 1817
Больцано: строгость в изоляции
Строгое определение непрерывности и теорема о промежуточном значении — сформулированные в Праге, почти без читателей, за годы до Коши.
26

Париж 1821–1823
Коши: предел как основа всего
«Cours d'analyse»: впервые весь анализ систематически строится на определении предела. Студенты Политехнической школы жалуются на абстрактность.
27

Париж Кристиания и Париж, 1826
Абель: строгость приходит в теорию рядов
Нильс Хенрик Абель проводит первое полностью строгое исследование сходимости ряда, вежливо указывает на ошибку Коши — и в письме учителю называет расходящиеся ряды выдумкой дьявола. Норвежец, умерший в 26 лет, задал стандарт строгости на век вперёд.
28

Берлин 1829 и 1837
Дирихле: первое строгое условие и новое определение функции
Дирихле доказывает первую верную теорему о сходимости рядов Фурье, даёт современное определение функции как произвольного соответствия — и тут же строит функцию, к которой его собственная теория неприменима.
29

Гёттинген 10 июня 1854
Один день — две математики
Габилитация Римана: лекция о гипотезах в основании геометрии (на неё пришёл престарелый Гаусс) и первое общее определение интеграла — в одной работе. Один из самых плотных научных дней в истории.
30

Галле 1872–1884
Кантор: множества из рядов Фурье
Изучая единственность тригонометрических разложений, Кантор приходит к теории множеств — и открывает иерархию бесконечностей.
31

Берлин лекции 1850–70-х; доклад 1872
Вейерштрасс: ε–δ и «монстр»
Окончательные ε–δ-определения — и всюду непрерывная, нигде не дифференцируемая функция, разрушившая интуицию. Эрмит: «Я отворачиваюсь в страхе и ужасе от этой язвы».
32

Брауншвейг 1872
Дедекиндовы сечения: фундамент подведён
Что такое вещественное число? Дедекинд публикует ответ — сечения, — придуманный 24 ноября 1858 года, когда он понял, что не может строго доказать студентам факты о пределах.
33

Париж Галле, Париж и Гёттинген, 1872–1895
Гейне и Борель: рождение компактности
Из любого покрытия отрезка открытыми интервалами можно выбрать конечное подпокрытие. Утверждение, за которым не видно содержания, оказывается причиной, по которой на отрезке работают все теоремы анализа.
34

Турин 1890
Пеано: кривая, заполняющая квадрат
Непрерывная кривая проходит через каждую точку квадрата. Второй монстр после вейерштрассовского: если размерность может так меняться, то и понятие размерности надо определять заново.
35

Париж 1902
Интеграл Лебега
Мерить не разбиение оси абсцисс, а множества уровней: интеграл, переживающий предельные переходы. Метафора Лебега: Риман считает монеты подряд, я — раскладываю по достоинству.
36

Гёттинген 1904–1910
Гильберт: бесконечномерное пространство и спектр
Анализ становится геометрией пространств

Занимаясь интегральными уравнениями, Гильберт приходит к пространству последовательностей с суммируемым квадратом, к ортогональным базисам и к спектральной теореме. Двадцать лет спустя выяснится, что он построил математический аппарат квантовой механики.
37

Болонья 1905; Львов, 1924
Витали и Банах — Тарский: цена аксиомы выбора
Не всякое множество можно измерить. Витали строит первый пример, а Банах и Тарский доводят дело до предела: шар можно разрезать на пять частей и собрать из них два таких же шара. Обе конструкции опираются на аксиому выбора.
38

Париж 1906
Фреше: пространство без чисел
Морис Фреше в диссертации замечает, что для разговора о сходимости не нужны ни числа, ни функции — достаточно расстояния. Так появляется метрическое пространство, без которого не существует ни банаховых пространств, ни всей современной топологии.
39

Брно 1907; публикация — Париж, Comptes Rendus
Рисс и Фишер: долг Фурье выплачен
Выплата долга Фурье: L² полно

Пространство функций с интегрируемым квадратом полно, а тригонометрическая система в нём — базис. Значит, утверждение Фурье 1807 года верно — при правильном понимании слов «функция», «интеграл» и «сходится». Ровно сто лет.
40

Москва 1915–1916
Лузитания: гипотеза Лузина
Лузин предполагает: ряд Фурье любой функции из L² сходится почти всюду. Меньшов тут же строит тонкий контрпример для нуль-рядов. Московская школа теории функций рождается из этой нити.
41

Львов 1920–1932
Львов: кафе «Шкоцка» и банаховы пространства
Диссертация Банаха и «Théorie des opérations linéaires»: анализ, где точка пространства — сама функция. Задачи записывались в тетрадь кафе «Шкоцка»; за одну из них был обещан живой гусь.
42

Москва 1923
Колмогоров: расходящийся ряд Фурье
Девятнадцатилетний студент строит суммируемую функцию, ряд Фурье которой расходится почти всюду, а через три года — расходящийся всюду. Первая работа человека, который через десять лет аксиоматизирует теорию вероятностей.
43

Москва 1935–1936
Обобщённые решения Соболева
Сергей Соболев вводит обобщённые решения уравнений и пространства, названные его именем: производная может существовать «в среднем», даже когда её нет в точке.
44

Стэнфорд Принстон, 1940; Стэнфорд, 1963
Гёдель и Коэн: вопрос без ответа
Есть ли мощность между счётной и континуумом? Гёдель показывает, что «нет» опровергнуть нельзя, Коэн — что доказать тоже нельзя. Вопрос, которому Кантор посвятил жизнь, оказывается неразрешимым в принципе.
45

Нанси ноябрь 1944 — 1950
Теория распределений: дельта-функция узаконена
Лоран Шварц оформляет теорию распределений: дельта-функция Дирака, которой физики пользовались с 1920-х, становится строгим объектом. Филдсовская медаль 1950 года.
46

Москва 1951
Мергелян: приближение многочленами
Окончательный ответ на вопрос, тянущийся от Вейерштрасса и Рунге: когда функцию можно приблизить многочленами на компакте в комплексной плоскости. Мергеляну двадцать три года; двумя годами раньше он стал самым молодым доктором наук в стране.
47

Москва 1954, доложено на конгрессе в Амстердаме
КАМ: устойчивость почти-периодических движений
Ответ на вопрос об устойчивости Солнечной системы, который Пуанкаре оставил открытым: при малом возмущении большинство условно-периодических движений уцелевает. Дальше теорию достроят Арнольд и Мозер.
48

Москва 1956–1957
Колмогоров и Арнольд: тринадцатая проблема Гильберта
Любая непрерывная функция многих переменных — суперпозиция непрерывных функций одной переменной и сложения. Гильберт ждал обратного. Арнольду девятнадцать лет, он студент.
49

Санкт-Петербург Ленинград, 1958–1969
Ладыженская: уравнения Навье — Стокса
Двумерный случай закрыт полностью — существование, единственность, гладкость; трёхмерный остаётся задачей тысячелетия. Рядом теория Ладыженской и Уральцевой, закрывшая девятнадцатую проблему Гильберта вместе с Де Джорджи и Нэшем.
50

Принстон 1960–61; Лос-Анджелес, 1962–66
Нестандартный анализ: призраки реабилитированы
Абрахам Робинсон средствами математической логики строит поле гипердействительных чисел: бесконечно малые существуют законно. Лейбниц был прав — через 230 лет после насмешек Беркли.
51

Кембридж (Массачусетс) перезапуск расчёта — 1961, статья — 1963, «крыло бабочки» — 1972
Лоренц: три уравнения, которые нельзя досчитать
Метеоролог из Массачусетского технологического перезапускает расчёт погоды с распечатки, где числа округлены до трёх знаков вместо шести, — и получает совершенно другую погоду. Из этой неприятности он выделяет систему трёх обыкновенных дифференциальных уравнений: полностью детерминированную, без единого случайного слагаемого, с решениями, которые не повторяются никогда и расходятся экспоненциально. То, о чём Пуанкаре рассуждал, здесь можно нарисовать.
52

Уппсала 1966
Карлесон: последний ответ на вопрос 1807 года
Вопрос 1807 года закрыт

Ряд Фурье функции с интегрируемым квадратом сходится к ней почти в каждой точке. Гипотезу Лузина считали ложной пятьдесят лет; Леннарт Карлесон доказал её, и сквозная нить линии, начатая в 1807 году, замкнулась.
53

Йорктаун-Хайтс 1975
Мандельброт: монстры становятся геометрией
Функция Вейерштрасса, кривая Пеано, множество Кантора — сто лет их считали патологией. Бенуа Мандельброт объявляет, что именно так устроена природа, придумывает слово «фрактал» и превращает «прискорбную язву» Эрмита в раздел математики.