Лейбниц: день рождения знака ∫

Дилетант, ставший за четыре года первым

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) — доктор права, дипломат на майнцской службе, философ. В Париж он приезжает в 1672 году с политической миссией (отвлечь Людовика XIV от Германии, подсунув ему план египетского похода). Миссия проваливается, но Лейбниц остаётся на четыре года — и это оказывается решающим для истории математики.

Математическое образование у него на тот момент почти нулевое. ГюйгенсХристиан Гюйгенснидерландский математик, физик и астроном · 1629–1695Написал первый печатный учебник теории вероятностей, изобрёл маятниковые часы, открыл кольца Сатурна и объяснил свет волнами., познакомившись с ним, задаёт ему пробную задачу: найти сумму обратных треугольных чисел.

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n(n+1)}.$$

Лейбниц замечает, что $\dfrac{2}{n(n+1)} = \dfrac{2}{n} - \dfrac{2}{n+1}$, и сумма телескопируется:

$$\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}\right) = 2 - \frac{2}{N+1} \xrightarrow[N\to\infty]{} 2.$$

Гюйгенс впечатлён и берёт его в ученики. Из этой задачи Лейбниц вынес мысль, определившую всё дальнейшее: суммирование и взятие разностей — взаимно обратные операции. Дальше оставалось перенести это с последовательностей на кривые: разности станут дифференциалами, суммы — интегралами.

29 октября 1675 года

В рукописи этого дня — исследование задачи о квадратурах — Лейбниц пишет, что вместо «omnia» («все линии», обозначение КавальериБонавентура Кавальериитальянский монах-иезуат и математик · 1598–1647Предложил считать площадь суммой отрезков, а объём — суммой сечений, и получил результаты, до которых греки шли столетиями, — не сумев объяснить, почему это законно.) полезно будет писать $\int$: удлинённую S от латинского summa.

Через две недели, 11 ноября 1675 года, появляется знак $d$ для дифференциала — сначала как $x/d$, потом как $dx$.

Это исключительный случай в истории математики: у двух главных символов анализа есть точные даты рождения, засвидетельствованные сохранившимися черновиками (опубликованы Гéрхардтом и разобраны Чайлдом).

Ошибка того же дня — и её исправление

В той же записи от 11 ноября Лейбниц предполагает, что дифференциал произведения равен произведению дифференциалов:

$$d(xy) \overset{?}{=} dx\cdot dy.$$

Ошибка естественная: сложение ведь работает, $d(x+y) = dx + dy$. Через несколько дней он проверяет на примере и находит верное правило:

$$d(xy) = x\,dy + y\,dx.$$

Почему так. Приращение произведения:

$$(x+dx)(y+dy) - xy = x\,dy + y\,dx + dx\,dy,$$

и последний член, будучи произведением двух бесконечно малых, отбрасывается как бесконечно малый второго порядка.

Дальше по индукции получается $d(x^{n}) = nx^{n-1}dx$, а из $d\left(y\cdot\frac{x}{y}\right)$ — правило частного:

$$d\!\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{y\,dx - x\,dy}{y^{2}}.$$

Полезная деталь для урока: первый шаг великого математика был неверен, и это нормально. Он проверил на примере и исправился.

Почему нотация Лейбница победила

Ньютоновские точки $\dot x, \ddot x$ и лейбницевские $\dfrac{dy}{dx}$ математически эквивалентны. Но лейбницевская устроена так, чтобы правила выглядели самоочевидными:

• Цепное правило: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ — выглядит как сокращение дробей. И это не случайность: Лейбниц конструировал обозначение именно ради такого эффекта.
• Замена переменной в интеграле: $\displaystyle\int f(u)\,\frac{du}{dx}\,dx = \int f(u)\,du$ — снова «сокращение».
• Размерности видны: $\dfrac{ds}{dt}$ — это метры на секунду, буквально.
• В интеграле $\int f(x)\,dx$ видна и подынтегральная функция, и переменная интегрирования; у НьютонаИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику. переменная не указана вовсе.

Это иллюстрация философской программы Лейбница — characteristica universalis: правильно устроенный язык должен сам вести рассуждение, превращая мышление в вычисление. В анализе эта программа удалась полностью.

Публикация: шесть страниц, изменившие математику

Октябрь 1684 года, лейпцигский журнал «Acta Eruditorum»:

«Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus»
(«Новый метод для максимумов и минимумов, а также касательных, которому не препятствуют ни дробные, ни иррациональные величины, и особый род исчисления для них»)

Шесть страниц. В них — определение дифференциала, правила суммы, произведения, частного, степени и корня, признаки экстремума и точки перегиба, приложение к задаче о преломлении света.

Изложение настолько сжатое, что братья БернуллиБернуллишвейцарская династия математиков · XVII–XVIII векаВосемь математиков в трёх поколениях одной базельской семьи — и почти столько же ссор между ними; на их фамилию приходится закон больших чисел, вариационное исчисление и уравнение гидродинамики., разбираясь в нём, назвали статью скорее загадкой, чем объяснением. Разгадав, они стали главными пропагандистами метода — и обучили ему Лопиталя.

Интегральное исчисление Лейбниц опубликовал в 1686-м («De geometria recondita»), там же впервые в печати появился знак $\int$.

Трансмутация и ряд для π

Ещё в Париже (1673) Лейбниц доказывает «теорему о трансмутации» — правило замены площади под кривой на площадь, связанную с касательными, — и получает свой знаменитый ряд:

$$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots$$

Гюйгенс назвал результат замечательным. Позже выяснится, что тот же ряд знали Грегори (1671) и МадхаваМадхава из Сангамаграмыиндийский математик и астроном · около 1340 — около 1425Получил ряды для арктангенса, синуса и косинуса за триста лет до Тейлора и Лейбница, посчитал π с одиннадцатью верными знаками — и всё это в Керале, откуда результаты в Европу не дошли. (ок. 1400) — Мадхава.

Что осталось нерешённым

Лейбниц не смог объяснить, что такое $dx$. Он колебался между тремя ответами: это реальная бесконечно малая величина; это «фикция, полезная для сокращения рассуждений»; это просто конечная величина, которую можно взять сколь угодно малой. В переписке он высказывал все три, порой в одном письме.

РобинсонАбрахам Робинсонамериканский математик и логик · 1918–1974Средствами математической логики построил числа, меньшие всякого положительного, но не нулевые, — и задним числом сделал законными триста лет вычислений Лейбница и Эйлера. в 1961 году покажет, что первый ответ можно сделать полностью законным (Робинсон). КошиОгюстен Луи Кошифранцузский математик · 1789–1857Первым потребовал от анализа доказательств вместо очевидности — и первым написал учебник, по которому это можно было выучить. и ВейерштрассКарл Вейерштрасснемецкий математик · 1815–1897Пятнадцать лет учительствовал в провинциальной гимназии, а потом переписал анализ на языке $\varepsilon$ и $\delta$ — и предъявил функцию, у которой нигде нет касательной. покажут, что можно обойтись третьим (Коши, Вейерштрасс). Оба пути ведут к одной и той же математике — и оба Лейбниц по-своему угадал.

Следующая точка: Лондон — то, чем это всё кончилось.