Индия · по «Юктибхаше», глава о круге
Ряд, который сходится слишком медленно
Как звучало тогда
Диаметр, умноженный на четыре, без диаметра, умноженного на четыре и делённого на три, плюс диаметр, умноженный на четыре и делённый на пять, — и так далее: таково протяжение окружности.
Условие
Ряд Мадхавы даёт $\pi = 4\left(1-\frac13+\frac15-\frac17+\ldots\right)$. Сколько членов надо взять, чтобы получить $\pi$ с точностью до двух знаков после запятой, то есть чтобы ошибка стала меньше $0{,}005$?
Показать ответ
200 членов
О чём эта задача
Ряд знаменит и почти бесполезен: ошибка убывает как $\frac{1}{n}$, и на каждый новый верный знак нужно вдесятеро больше слагаемых. Мадхава это понимал и дал поправочный член, добавляемый к оборванной сумме, — с ним хватает нескольких десятков слагаемых, и он получил одиннадцать верных знаков. В Европе ряд заново открыл Лейбниц в 1674 году, через двести семьдесят лет, и до недавнего времени его так и звали рядом Лейбница.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.