Первый учебник анализа — и купленное правило

Книга

Гийом Франсуа Антуан, маркиз де Лопиталь (1661–1704) публикует в 1696 году «Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes» — «Анализ бесконечно малых для понимания кривых линий». Это первый в мире учебник математического анализа.

Значение книги трудно переоценить. Шесть плотных страниц ЛейбницаГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем». в «Acta Eruditorum» были доступны десятку человек в Европе. Учебник Лопиталя — с определениями, правилами, разобранными примерами и упражнениями — сделал дифференциальное исчисление доступным любому образованному читателю. Он переиздавался почти сто лет.

Сделка

Лопиталь был человеком богатым, светским и математически способным, но не первоклассным. В 1691 году в Париже он познакомился с двадцатичетырёхлетним Иоганном БернуллиБернуллишвейцарская династия математиков · XVII–XVIII векаВосемь математиков в трёх поколениях одной базельской семьи — и почти столько же ссор между ними; на их фамилию приходится закон больших чисел, вариационное исчисление и уравнение гидродинамики., который читал там частные лекции по новому исчислению Лейбница.

Контракт от 17 марта 1694 года (письмо сохранилось): Лопиталь платит Бернулли 300 ливров в год (позже сумма повышалась), а Бернулли обязуется сообщать ему все свои математические открытия и не сообщать их никому другому. Формулировка недвусмысленна: Лопиталь покупает право распоряжаться результатами.

В предисловии к книге Лопиталь честно благодарит Лейбница и «господина Бернулли, младшего», признавая, что свободно пользовался их результатами. Но конкретные атрибуции не расставлены.

Долгий спор

После смерти Лопиталя (1704) Иоганн Бернулли начал заявлять, что бо́льшая часть учебника — его. Ему не поверили: репутация у Бернулли была скверная (он ссорился со всеми, включая родного брата Якоба и собственного сына Даниила), а претензия выглядела как посмертное сведение счётов.

Оправдание пришло через два столетия. В 1921 году в Базеле были найдены рукописи лекций Иоганна Бернулли 1691–1692 годов, читанных Лопиталю. Совпадение с текстом учебника оказалось почти дословным. Приоритет Бернулли документально подтверждён.

Судьба названия при этом не изменилась — правило по-прежнему носит имя покупателя, а не автора. Такое случается: биномиальные коэффициенты называют паскалевскими, ленту МёбиусаАвгуст Фердинанд Мёбиуснемецкий математик и астроном · 1790–1868Профессор астрономии, чьё имя носит самая известная поверхность в мире; открыл её в шестьдесят восемь лет, разбирая конкурсную задачу о многогранниках, — и не первым. Главная его работа при этом совсем другая… открыл ЛистингИоганн Бенедикт Листингнемецкий математик и физик · 1808–1882Придумал слово «топология» за полвека до того, как дисциплина обзавелась содержанием, и открыл одностороннюю поверхность на несколько месяцев раньше Мёбиуса. Имя закрепилось не за ним ни в том, ни в другом…, распределение ПуассонаСимеон Дени Пуассонфранцузский математик, механик и физик · 1781–1840Его именем названы уравнение, скобка, формула суммирования и распределение — причём распределение он считал у себя второстепенной технической деталью. Известен и тем, что отверг рукопись Галуа. на прусских данных проверил Борткевич.

Само правило

Формулировка. Пусть $f$ и $g$ дифференцируемы в проколотой окрестности точки $a$, $g'(x)\ne0$ там же, и

$$\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x) = 0.$$

Если существует $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = L$ (конечный или бесконечный), то

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = L.$$

Аналогично для неопределённости $\infty/\infty$.

Почему это верно (идея). Доопределим $f(a)=g(a)=0$ — функции станут непрерывными в $a$. По теореме Коши о среднем для $x$ около $a$ найдётся $\xi$ между $a$ и $x$ с

$$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.$$

При $x\to a$ имеем $\xi\to a$, и правая часть стремится к $L$. $\blacksquare$

Заметьте: строгое доказательство опирается на теорему, появившуюся через 127 лет после самого правила. Лопиталь (то есть Бернулли) рассуждал геометрически, через бесконечно малые приращения ординат.

Три ловушки, которые надо показать ученикам

1. Условие «$0/0$» обязательно. Вычислять $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^{2}+1}{x+3}$ по Лопиталю нельзя: правильный ответ $2/4 = 1/2$, а «по правилу» получилось бы $2x/1 \to 2$.

2. Обратное неверно. Из существования $\lim f/g$ не следует существование $\lim f'/g'$. Пример:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sin x}{x} = 1, \qquad\text{но}\qquad \frac{(x+\sin x)'}{x'} = 1+\cos x$$

предела не имеет. Правило — односторонняя импликация.

3. Может закольцеваться. Для $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}$ применение правила даёт $\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$, повторное — исходное выражение. Круг. (Ответ, конечно, 1; получается делением на $x$.)

Пример из самой книги

Ради колорита — задача, которую Лопиталь разбирает как иллюстрацию. Найти предел при $x\to a$ выражения

$$\frac{\sqrt{2a^{3}x - x^{4}} - a\sqrt[3]{a^{2}x}}{a - \sqrt[4]{ax^{3}}}.$$

Ответ: $\dfrac{16a}{9}$. Стоит предложить одиннадцатиклассникам — вычисление длинное, но совершенно школьное, и хорошо показывает, зачем нужно правило.

Следующая точка: Гронинген — вызов, брошенный всей Европе.