Брахистохрона: вызов всей Европе

Вызов

Июнь 1696 года. Иоганн БернуллиБернуллишвейцарская династия математиков · XVII–XVIII векаВосемь математиков в трёх поколениях одной базельской семьи — и почти столько же ссор между ними; на их фамилию приходится закон больших чисел, вариационное исчисление и уравнение гидродинамики., только что ставший профессором в Гронингене, публикует в «Acta Eruditorum» задачу:

Даны две точки $A$ и $B$ в вертикальной плоскости, не на одной вертикали. Найти кривую, по которой тяжёлая точка, скользящая без трения из $A$, достигнет $B$ за наименьшее время.

Название — от греч. βράχιστος (кратчайший) и χρόνος (время).

Первая реакция публики: «это же прямая». Нет. Прямая — кратчайший путь, но не быстрейший: выгодно сначала круче нырнуть вниз, набрать скорость и лететь остаток пути быстро. Прямая проигрывает. Вопрос — насколько круто нырять, и здесь нужна математика.

Срок Бернулли назначил в полгода, затем по просьбе ЛейбницаГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем». продлил до Пасхи 1697-го.

Постановка

Скорость из закона сохранения энергии (ось $y$ вниз, старт из покоя):

$$\frac{mv^{2}}{2} = mgy \;\Longrightarrow\; v = \sqrt{2gy}.$$

Элемент дуги $ds = \sqrt{1 + y'^{2}}\,dx$. Полное время:

$$T[y] = \int_{A}^{B}\frac{ds}{v} = \int_{0}^{x_{1}}\sqrt{\frac{1+y'^{2}}{2gy}}\;dx.$$

Это принципиально новый тип задачи. Раньше искали число (точку экстремума). Здесь ищут функцию, доставляющую минимум величине, которая зависит от всей функции сразу. Минимум берётся по бесконечномерному множеству кандидатов.

Решение Иоганна Бернулли: через оптику

Гениальный ход, который стоит разобрать в классе полностью.

Бернулли вспоминает принцип ФермаПьер Фермафранцузский юрист и математик · 1607–1665Советник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей.: свет идёт по пути наименьшего времени. Значит, задача о брахистохроне — это задача о том, как пойдёт свет в среде, где скорость меняется по закону $v = \sqrt{2gy}$.

А для света ответ известен — закон Снеллиуса. Разобьём среду на тонкие горизонтальные слои с постоянными скоростями $v_1, v_2, \ldots$ На каждой границе

$$\frac{\sin\theta_{1}}{v_{1}} = \frac{\sin\theta_{2}}{v_{2}} = \cdots = \text{const},$$

где $\theta$ — угол с вертикалью. Переходя к пределу непрерывной среды:

$$\frac{\sin\theta}{v} = \text{const} = \frac{1}{\sqrt{C}}.$$

Теперь выразим $\sin\theta$ через $y'$. Угол с вертикалью: $\sin\theta = \dfrac{dx}{ds} = \dfrac{1}{\sqrt{1+y'^{2}}}$. Подставляем $v = \sqrt{2gy}$:

$$\frac{1}{\sqrt{1+y'^{2}}\cdot\sqrt{2gy}} = \text{const} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,y\left(1+y'^{2}\right) = C\,}$$

Решение уравнения

Подстановка: пусть $y' = \ctg\dfrac{t}{2}$. Тогда

$$1 + y'^{2} = 1 + \ctg^{2}\frac t2 = \frac{1}{\sin^{2}(t/2)},$$

и из уравнения $y = C\sin^{2}\dfrac{t}{2} = \dfrac{C}{2}(1-\cos t)$.

Далее $dx = \dfrac{dy}{y'} = \dfrac{\frac{C}{2}\sin t\,dt}{\ctg(t/2)} = \dfrac{C}{2}(1-\cos t)\,dt$, откуда $x = \dfrac{C}{2}(t - \sin t)$.

$$x = \frac{C}{2}(t-\sin t), \qquad y = \frac{C}{2}(1-\cos t).$$

Это циклоида. «Елена геометров» возвращается.

Проверка через уравнение Эйлера — ЛагранжаЖозеф Луи Лагранжфранцузский математик и механик итальянского происхождения · 1736–1813Написал механику без единого чертежа, довёл до конца всё, что начали Эйлер и Ферма, и первым понял, что решаемость уравнения зависит от перестановок его корней.

Современный путь, который стоит показать рядом. Для функционала $J[y]=\int F(x,y,y')dx$ экстремаль удовлетворяет

$$\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'} = 0.$$

Если $F$ не зависит явно от $x$ (наш случай), справедливо тождество БельтрамиЭудженио Бельтрамиитальянский математик · 1835–1900Построил модель, в которой геометрия Лобачевского живёт внутри евклидовой, — и этим закрыл спор длиной в две тысячи лет: если неевклидова геометрия противоречива, то противоречива и обычная.:

$$F - y'\frac{\partial F}{\partial y'} = \text{const}.$$

Подставим $F = \sqrt{\dfrac{1+y'^{2}}{y}}$ (константу $\sqrt{2g}$ опускаем):

$$\frac{\partial F}{\partial y'} = \frac{y'}{\sqrt{y}\sqrt{1+y'^{2}}}, \qquad F - y'\frac{\partial F}{\partial y'} = \frac{1+y'^{2}}{\sqrt y\sqrt{1+y'^2}} - \frac{y'^{2}}{\sqrt y\sqrt{1+y'^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{y}\sqrt{1+y'^{2}}}.$$

Приравнивая константе и возводя в квадрат: $y(1+y'^{2}) = C$. То же уравнение. $\checkmark$

Бернулли получил его физическим рассуждением за сто лет до того, как появился общий аппарат.

Пять решений

К назначенному сроку пришли решения от Лейбница, Якоба Бернулли, ЛопиталяГийом Лопитальфранцузский маркиз и математик · 1661–1704Написал первый в мире учебник дифференциального исчисления — и купил у Иоганна Бернулли право называть его результаты своими. и — анонимно, из Англии — от НьютонаИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику.. Плюс собственное решение Иоганна.

История с Ньютоном: по рассказу его племянницы, записанному Кондуиттом, задача пришла к нему 29 января 1697 года, в четыре часа дня, после рабочего дня на Монетном дворе; он решил её к четырём утра и отослал анонимно. Иоганн Бернулли, прочитав, будто бы сказал: льва узнаю́ по когтям.

Оговорка: рассказ записан десятилетия спустя со слов родственницы, и историки относятся к деталям (особенно к точным часам) с осторожностью. Но решение Ньютона действительно было анонимным и действительно верным.

Кто решил лучше всех

Парадоксальным образом — Якоб Бернулли, старший брат, с которым Иоганн был в непрерывной вражде. Решение Иоганна блестяще, но это фокус: оно работает благодаря счастливой аналогии с оптикой и не обобщается. Якоб рассуждал общо: варьировал кривую на малом участке и выводил условие минимума из сравнения соседних траекторий — то есть заложил метод варьирования.

Якоб тут же выставил ответный вызов — изопериметрическую задачу (найти кривую заданной длины, охватывающую наибольшую площадь, при дополнительных условиях). Иоганн ответил поспешно и неверно, спор тянулся годы и отравил обоим жизнь. Но из него выросла техника связей и множителей.

Что из этого выросло

• ЭйлерЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя., «Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes» (1744) — первая систематическая теория. Уравнение Эйлера выведено в общем виде.
• Лагранж, письмо Эйлеру из Турина, 12 августа 1755 года: девятнадцатилетний автор излагает чисто аналитический метод вариаций $\delta$, свободный от эйлеровых геометрических построений. Эйлер, получив письмо, придержал публикацию собственных результатов на ту же тему, чтобы не отнимать приоритет у юноши, — редчайший в истории науки поступок. Он же ввёл название «вариационное исчисление» в честь метода Лагранжа.
• Механика. Принцип наименьшего действия: система движется так, чтобы минимизировать $S = \int L\,dt$, где $L = T - U$. Отсюда — вся лагранжева и гамильтонова механика, а через них — квантовая механика в формулировке Фейнмана (интеграл по траекториям) и общая теория относительности (действие ГильбертаДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти. — ЭйнштейнаАльберт Эйнштейннемецкий физик-теоретик · 1879–1955Единственный физик в этом справочнике по праву математика: чтобы записать тяготение, ему понадобилась геометрия Римана — и он потратил на её освоение семь лет.).

Задача про скатывающийся шарик оказалась входом в способ формулировки почти всей теоретической физики.

Задача для класса. Спустимся из $(0,0)$ в точку $B=\left(\tfrac{\pi}{2}h,\; h\right)$ (ось $y$ — вниз). Точка $B$ выбрана так, что она оказывается нижней точкой циклоиды: при $t=\pi$ имеем $x=\tfrac{C}{2}\pi$, $y=C$, откуда $C=h$.

По циклоиде. Известно (и полезно проверить прямым интегрированием), что время спуска до нижней точки равно $t_{\text{ц}} = \pi\sqrt{\dfrac{C}{2g}} = \pi\sqrt{\dfrac{h}{2g}} \approx 2{,}221\sqrt{h/g}$.

По прямой. Длина $L=\sqrt{\tfrac{\pi^{2}}{4}h^{2}+h^{2}} = h\sqrt{\tfrac{\pi^{2}}{4}+1}\approx 1{,}862\,h$. Ускорение вдоль наклона равно $g\sin\theta = g\,h/L$, и из $L=\tfrac12\cdot\dfrac{gh}{L}t^{2}$ получаем $t_{\text{пр}} = L\sqrt{\dfrac{2}{gh}} \approx 2{,}633\sqrt{h/g}$.

Итог. $t_{\text{ц}}/t_{\text{пр}} \approx 0{,}844$ — циклоида быстрее примерно на 16 %, при том что она длиннее прямой. Хорошая иллюстрация того, что кратчайший путь и быстрейший путь — разные вещи.

Следующая точка: Лондон — общая формула, объясняющая, откуда берутся все ряды сразу.