«Елена геометров»: циклоида

Кривая

Циклоида — траектория точки на ободе колеса, катящегося без проскальзывания по прямой. Параметрически, для колеса радиуса $r$:

$$x = r(t - \sin t), \qquad y = r(1 - \cos t), \qquad t\in[0, 2\pi]\ \text{— одна арка}.$$

Название дал ГалилейГалилео Галилейитальянский физик, астроном и математик · 1564–1642Объяснил придворным игрокам, почему при трёх костях десятка выпадает чаще девятки, — и закрыл вопрос, открытый за триста пятьдесят лет до него. Заодно сказал, что книга природы написана на языке математики., который пытался найти её площадь экспериментально: вырезал из жести арку и порождающий круг и взвесил. Получилось «примерно втрое, но не точно» — металл не идеален. Отношение оказалось ровно 3, и первым это доказал Роберваль.

Роберваль и его беда

Жиль Персон де Роберваль (1602–1675) занимал в Коллеж-Рояль кафедру Рамуса, которая по уставу раз в три года разыгрывалась заново на открытом конкурсе задач. Победитель — тот, кто решит задачи, поставленные предшественником. Естественная стратегия: держать свои методы в тайне и ставить задачи, которые умеешь решать только ты. Роберваль так и делал сорок лет, сохранив кафедру до смерти, — и заплатил за это тем, что почти все его результаты опубликованы кем-то другим раньше. Отсюда его нескончаемые склоки о приоритете, прежде всего с Торричелли (опубликовавшим квадратуру циклоиды в 1644-м).

Площадь: изящное доказательство Роберваля

Роберваль вводит вспомогательную кривую — «спутницу рулетты» (compagne de la roulette): вместо $x = r(t-\sin t)$ берём

$$x = rt, \qquad y = r(1-\cos t).$$

Это, как легко видеть, обыкновенная синусоида (косинусоида), сдвинутая вверх.

Шаг 1. Циклоида и её спутница на каждой высоте $y$ отстоят по горизонтали ровно на $r\sin t$ — то есть на полухорду порождающего круга. По принципу КавальериБонавентура Кавальериитальянский монах-иезуат и математик · 1598–1647Предложил считать площадь суммой отрезков, а объём — суммой сечений, и получил результаты, до которых греки шли столетиями, — не сумев объяснить, почему это законно. область между ними равновелика кругу:

$$S_{\text{между}} = \pi r^{2}.$$

Шаг 2. Спутница делит объемлющий прямоугольник $2\pi r \times 2r$ пополам — по центральной симметрии относительно точки $(\pi r, r)$. Значит, под спутницей

$$S_{\text{спутница}} = \frac{1}{2}\cdot 2\pi r \cdot 2r = 2\pi r^{2}.$$

Шаг 3. Складываем:

$$S_{\text{циклоида}} = 2\pi r^{2} + \pi r^{2} = 3\pi r^{2}.$$

Ровно три круга. $\blacksquare$

Проверка современными средствами.

$$S = \int_{0}^{2\pi r} y\,dx = \int_{0}^{2\pi} r(1-\cos t)\cdot r(1-\cos t)\,dt = r^{2}\int_{0}^{2\pi}(1-\cos t)^{2}dt.$$

Раскроем: $\int_0^{2\pi} 1\,dt = 2\pi$, $\int_0^{2\pi}\cos t\,dt = 0$, $\int_0^{2\pi}\cos^{2}t\,dt = \pi$. Итого $r^{2}(2\pi + \pi) = 3\pi r^{2}$. $\checkmark$

Касательная: кинематический метод

Здесь Роберваль изобретает приём, который сегодня преподают в механике: скорость точки колеса есть сумма поступательной и вращательной. Обе по величине равны $v$ (условие качения без проскальзывания). Сумма двух равных векторов лежит на биссектрисе угла между ними, откуда следует изящный факт:

Касательная к циклоиде в любой точке проходит через верхнюю точку порождающего круга в текущем положении. Нормаль — через нижнюю (точку касания круга с прямой).

Проверим аналитически:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\dot y}{\dot x} = \frac{r\sin t}{r(1-\cos t)} = \ctg\frac{t}{2}.$$

Мгновенный центр вращения — точка контакта $(rt, 0)$; вектор от неё к точке $(r(t-\sin t), r(1-\cos t))$ равен $(-r\sin t,\; r(1-\cos t))$, и нормаль к движению именно эта. $\checkmark$

Это, по сути, дифференцирование через физику — и метод Роберваля работал для многих кривых, задаваемых движением, там, где алгебраический метод Декарта пасовал. В конце 1630-х касательные к циклоиде строят Роберваль (кинематически), ФермаПьер Фермафранцузский юрист и математик · 1607–1665Советник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей. (адекватированием) и ДекартРене Декартфранцузский философ, математик и физик · 1596–1650Соединил кривую с уравнением — и геометрия впервые за две тысячи лет перестала зависеть от того, можно ли фигуру начертить. Заодно придумал обозначения, которыми мы пишем до сих пор. (через нормали и «метод кругов») — три метода, три школы, одна громкая ссора.

Дальнейшая судьба кривой

• Длина арки $= 8r$ — Кристофер Рен, 1658. Первое в истории спрямление трансцендентной кривой: длина дуги оказалась не просто конечной, а рациональным кратным радиуса, без всякого $\pi$. Это произвело сильное впечатление.
  Проверка: $L = \int_0^{2\pi}\sqrt{\dot x^2 + \dot y^2}\,dt = r\int_0^{2\pi}\sqrt{2-2\cos t}\,dt = 2r\int_0^{2\pi}\left|\sin\tfrac t2\right|dt = 8r$. $\checkmark$
• Таутохрона — ГюйгенсХристиан Гюйгенснидерландский математик, физик и астроном · 1629–1695Написал первый печатный учебник теории вероятностей, изобрёл маятниковые часы, открыл кольца Сатурна и объяснил свет волнами., 1659: тяжёлая точка, скользящая по перевёрнутой циклоиде, приходит в нижнюю точку за одно и то же время, откуда бы ни начала. На этом Гюйгенс построил маятниковые часы с циклоидальными щёчками.
• Брахистохрона — Иоганн Бернулли, 1696. Та же кривая.
• 1658, конкурс ПаскаляБлез Паскальфранцузский математик, физик и религиозный философ · 1623–1662Собрал в шестнадцать лет теорему о шестиугольнике, в девятнадцать — счётную машину, в тридцать один — теорию вероятностей, а потом бросил математику ради Бога.. Паскаль, мучаясь зубной болью, за восемь дней решает серию задач о циклоиде и объявляет конкурс под псевдонимом Амос Деттонвиль. Итог — скандал: жюри (в котором Роберваль) не присуждает премию никому, ВаллисДжон Валлисанглийский математик и криптограф · 1616–1703Ввёл знак ∞, вычислил π бесконечным произведением и дал Ньютону приём, из которого тот сделал бином и ряды. и Ласалувер обвиняют организаторов в предвзятости. Но именно в решениях Деттонвиля ЛейбницГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем». найдёт характеристический треугольник, с которого начнётся его собственное исчисление.

«Елена геометров» — прозвище заслуженное дважды: красавица, из-за которой все ссорились, и красавица, ради которой изобретали новую математику.

Следующая точка: Кембридж — недостающий мост между касательными и площадями.