Ферма: экстремумы и касательные

Человек, не публиковавший ничего

Пьер де Ферма (1607–1665) — советник парламента Тулузы, юрист по профессии, математик по страсти. Он не напечатал при жизни почти ни строчки: результаты сообщались в письмах МерсеннуМарен Мерсеннфранцузский монах, математик и теоретик музыки · 1588–1648Монах-минимит, работавший научным журналом за сто лет до появления журналов: через его келью в Париже шла переписка всей учёной Европы. Числа его имени до сих пор дают рекордные простые., РобервалюЖиль Робервальфранцузский математик и механик · 1602–1675Сорок лет держал кафедру, которую каждые три года разыгрывали на конкурсе задач, — и потому прятал свои методы. Заплатил за это тем, что почти все его результаты напечатал кто-то другой раньше., ПаскалюБлез Паскальфранцузский математик, физик и религиозный философ · 1623–1662Собрал в шестнадцать лет теорему о шестиугольнике, в девятнадцать — счётную машину, в тридцать один — теорию вероятностей, а потом бросил математику ради Бога., часто без доказательств и нередко в форме вызова. Единственный опубликованный при жизни текст вышел анонимно, в приложении к чужой книге. Собрание сочинений издал сын в 1679-м.

Метод максимумов и минимумов изложен в трактате «Methodus ad disquirendam maximam et minimam», написанном около 1629 года и разошедшемся в списках через Мерсенна с 1636-го.

Метод адекватирования

Ферма пользуется словом adaequalitas (греч. παρισότης у ДиофантаДиофант Александрийскийгреческий математик · около III века н. э.Первым стал решать уравнения в целых числах и первым ввёл сокращённые обозначения вместо слов — и задал вопрос, на который отвечали до 1994 года.) — «приравнивание приблизительно». Обозначим это $\sim$.

Процедура:

1. Записать $f(x+e)$ и $f(x)$.
2. Адекватировать: $f(x+e) \sim f(x)$.
3. Раскрыть скобки, сократить одинаковые члены.
4. Разделить всё на $e$.
5. Отбросить оставшиеся члены с $e$.
6. Полученное равенство решить относительно $x$.

Пример самого Ферма. Разделить отрезок длины $b$ на две части так, чтобы произведение было наибольшим.

$$(x+e)(b-x-e) \sim x(b-x)$$
$$bx - x^{2} - xe + be - xe - e^{2} \sim bx - x^{2}$$
$$be - 2xe - e^{2} \sim 0$$

Делим на $e$:

$$b - 2x - e \sim 0.$$

Отбрасываем $e$: $b = 2x$, то есть $x = b/2$. Отрезок делится пополам.

Сравните с современным: $f(x) = x(b-x)$, $f'(x) = b - 2x = 0$. Это буквально то же вычисление, только без слова «производная» и без понятия предела.

Касательные

Для касательной Ферма использует подкасательную $s$ — проекцию отрезка касательной на ось абсцисс. Из подобия треугольников точка касательной над $x+e$ имеет ординату $y\left(1 + \dfrac{e}{s}\right)$, и Ферма адекватирует её с $f(x+e)$.

Для параболы $y = x^{2}$:

$$x^{2}\left(1+\frac{e}{s}\right) \sim (x+e)^{2} = x^{2} + 2xe + e^{2},$$
$$\frac{x^{2}e}{s} \sim 2xe + e^{2}, \qquad \frac{x^{2}}{s} \sim 2x + e,$$

отбрасываем $e$: $s = \dfrac{x}{2}$, и наклон касательной $\dfrac{y}{s} = \dfrac{x^{2}}{x/2} = 2x$. $\checkmark$

Квадратуры Ферма — самое красивое у него

Здесь Ферма превосходит КавальериБонавентура Кавальериитальянский монах-иезуат и математик · 1598–1647Предложил считать площадь суммой отрезков, а объём — суммой сечений, и получил результаты, до которых греки шли столетиями, — не сумев объяснить, почему это законно. решительно: он находит $\int_0^a x^n dx$ для любого рационального $n \ne -1$, и притом одним приёмом.

Идея: разбивать отрезок не на равные части, а в геометрической прогрессии. Возьмём $0<q<1$ и точки $a, aq, aq^{2}, aq^{3}, \ldots$ — они сгущаются к нулю. Прямоугольник над $[aq^{k+1}, aq^{k}]$ высоты $(aq^{k})^{n}$:

$$\text{площадь} = (aq^{k})^{n}\left(aq^{k} - aq^{k+1}\right) = a^{n+1}(1-q)\,q^{k(n+1)}.$$

Суммируем геометрическую прогрессию по $k$:

$$S(q) = a^{n+1}(1-q)\sum_{k=0}^{\infty} q^{k(n+1)} = \frac{a^{n+1}(1-q)}{1-q^{n+1}}.$$

Теперь $q \to 1$. Полагая $q = t$, имеем

$$\frac{1-t}{1-t^{n+1}} = \frac{1}{1 + t + t^{2}+\cdots+t^{n}} \xrightarrow[t\to1]{} \frac{1}{n+1}.$$

Итого

$$\int_{0}^{a} x^{n}\,dx = \frac{a^{n+1}}{n+1}.$$

Обратите внимание на два обстоятельства. Во-первых, для дробного $n = p/q$ подстановка $t = u^{q}$ сводит дело к тому же пределу — метод работает без изменений. Во-вторых, видно, почему $n = -1$ выпадает: знаменатель $1+t+\cdots+t^{n}$ при $n=-1$ пуст, а сумма прогрессии расходится. Ту площадь найдёт Григорий де Сен-Венсан (1647), и она окажется логарифмом.

Принцип Ферма в оптике

В 1662 году Ферма формулирует: свет идёт по пути, требующему наименьшего времени. Из этого выводится закон преломления Снеллиуса:

$$\frac{\sin\theta_{1}}{\sin\theta_{2}} = \frac{v_{1}}{v_{2}}.$$

Это первый в физике вариационный принцип — и, что важно для нашей линии, именно им Иоганн БернуллиБернуллишвейцарская династия математиков · XVII–XVIII векаВосемь математиков в трёх поколениях одной базельской семьи — и почти столько же ссор между ними; на их фамилию приходится закон больших чисел, вариационное исчисление и уравнение гидродинамики. решит задачу о брахистохроне.

Почему Ферма — не изобретатель анализа

ЛагранжЖозеф Луи Лагранжфранцузский математик и механик итальянского происхождения · 1736–1813Написал механику без единого чертежа, довёл до конца всё, что начали Эйлер и Ферма, и первым понял, что решаемость уравнения зависит от перестановок его корней. в «Théorie des fonctions analytiques» прямо назвал Ферма первым изобретателем дифференциального исчисления, и это мнение до сих пор цитируют. Оно преувеличено, и вот почему:

• Нет понятия производной как функции. У Ферма $2x$ — ответ конкретной задачи, а не новый объект $f'$, который сам можно дифференцировать.
• Нет обозначений. Каждая задача решается заново, словами и буквами конкретной кривой.
• Не осознана обратность. Ферма умел брать касательные и умел брать квадратуры — но нигде не сказал, что это взаимно обратные операции. Это сделает Барроу.
• Нет ответа Беркли. Что такое $e$, если сначала на него делят, а потом его отбрасывают? Ферма не знает и не спрашивает.

Ферма создал приём. НьютонИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику. и ЛейбницГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем». создадут алгоритм. Разница между гением и конвейером.

Задача для класса. Проведите метод Ферма для $f(x) = x^3 - 3x$ и для площади под $y=\sqrt x$ на $[0,4]$ (геометрическая прогрессия с $q$, затем $q\to1$).

Следующая точка: Париж, 1634 — кривая, из-за которой перессорились все.