Европа · вызов Ферма, ок. 1640; решение Торричелли
Три деревни и один колодец
Как звучало тогда
Даны три точки. Найти четвёртую, такую, чтобы сумма расстояний от неё до трёх данных была наименьшей.
Условие
Три деревни стоят вершинами треугольника, все углы которого меньше $120^\circ$. Где вырыть колодец, чтобы сумма расстояний до трёх деревень была наименьшей? Под какими углами видны из этой точки стороны треугольника?
Показать ответ
в точке, из которой каждая сторона видна под углом $120^\circ$; для правильного треугольника это его центр
О чём эта задача
Ферма поставил задачу как вызов итальянцам, Торричелли решил. Школьное доказательство красиво и не требует ничего, кроме поворота: повернём треугольник вместе с искомой точкой на $60^\circ$ вокруг вершины — ломаная из трёх расстояний распрямится в отрезок, а отрезок и есть кратчайший путь. Оговорка про $120^\circ$ существенна: если один угол треугольника тупее, точка минимума совпадает с его вершиной, и никакого равенства углов нет. Из этой задачи выросла целая область — задача Штейнера о кратчайшей сети.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.