Торричелли: бесконечная поверхность, конечный объём

Человек

Эванджелиста Торричелли (1608–1647) — ученик Кастелли, последние три месяца жизни ГалилеяГалилео Галилейитальянский физик, астроном и математик · 1564–1642Объяснил придворным игрокам, почему при трёх костях десятка выпадает чаще девятки, — и закрыл вопрос, открытый за триста пятьдесят лет до него. Заодно сказал, что книга природы написана на языке математики. его секретарь и ученик, затем его преемник на посту придворного математика великого герцога Тосканского.

Известен прежде всего барометром (1643) и объяснением атмосферного давления: ртуть в запаянной трубке стоит на высоте около 76 см, потому что её уравновешивает вес воздуха, а над ней — пустота. Утверждение о существовании вакуума было богословски рискованным. Ему же принадлежит формула истечения жидкости $v=\sqrt{2gh}$ (теорема Торричелли) — та самая, из которой Иоганн БернуллиБернуллишвейцарская династия математиков · XVII–XVIII векаВосемь математиков в трёх поколениях одной базельской семьи — и почти столько же ссор между ними; на их фамилию приходится закон больших чисел, вариационное исчисление и уравнение гидродинамики. выведет уравнение брахистохроны.

Умер от тифа в 39 лет.

Тело

«De solido hyperbolico acuto» («Об остром гиперболическом теле»), 1641; опубликовано в составе «Opera geometrica», 1644.

Возьмём гиперболу $y = 1/x$ при $x\geqslant1$ и повернём её вокруг оси абсцисс. Получится бесконечно длинная воронка, сужающаяся, но никогда не кончающаяся. Позднейшее название — труба Гавриила (по трубе архангела, возвещающей конец света).

Объём:

$$V = \pi\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}} = \pi\left[-\frac1x\right]_{1}^{\infty} = \pi\cdot(0-(-1)) = \pi.$$

Конечен. Ровно $\pi$ кубических единиц.

Площадь боковой поверхности:

$$S = 2\pi\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^{4}}}\;dx > 2\pi\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x} = 2\pi\left[\ln x\right]_{1}^{\infty} = \infty.$$

Бесконечна.

Парадокс маляра

Формулировка, которая безотказно работает в классе:

Воронку можно наполнить $\pi$ литрами краски. Но её внутреннюю поверхность нельзя покрасить — краски не хватит, сколько ни бери.

Где подвох. Разрешение полезно проговорить, потому что оно учит аккуратности.

Покраска поверхности подразумевает слой постоянной толщины $\delta$. Объём такого слоя примерно $S\delta = \infty$ — краски действительно не хватит. А наполнение воронки соответствует слою переменной толщины: у горловины краска толстая, дальше сколь угодно тонкая. Радиус трубы стремится к нулю быстрее, чем растёт длина, поэтому слой, ограниченный самой трубой, имеет конечный объём.

Иначе: «покрасить» и «наполнить» — разные операции, и наша интуиция ошибочно считает их эквивалентными, потому что в житейском опыте толщина слоя всегда больше нуля.

Как считал сам Торричелли

Никакого интегрального исчисления в 1641 году нет. Торричелли пользуется неделимыми Кавальери, но в остроумном варианте: не плоскими сечениями, а цилиндрическими поверхностями.

Возьмём боковую поверхность цилиндра радиуса $y=1/x$ и высоты $x$. Её площадь

$$2\pi y\cdot x = 2\pi\cdot\frac1x\cdot x = 2\pi.$$

Одна и та же величина при любом $x$! Значит, тело составлено из вложенных цилиндрических «оболочек» одинаковой площади $2\pi$ каждая, а таких оболочек столько же, сколько точек на отрезке радиусов $(0,1]$.

Торричелли сопоставляет эту совокупность с цилиндром радиуса 1 и высоты 1, разрезанным плоскими сечениями площади... и, приравнивая совокупности неделимых, получает объём.

Метод, разумеется, не строг — это ровно те «неделимые», за которые ругали КавальериБонавентура Кавальериитальянский монах-иезуат и математик · 1598–1647Предложил считать площадь суммой отрезков, а объём — суммой сечений, и получил результаты, до которых греки шли столетиями, — не сумев объяснить, почему это законно.. Но здесь он даёт верный ответ и, что важнее, делает результат наглядным: бесконечное число одинаковых оболочек даёт конечный объём, потому что оболочки бесконечно тонки.

Кстати, современный метод цилиндрических слоёв — прямой потомок этого приёма:

$$V = \int 2\pi r\, h(r)\,dr.$$

Реакция

Результат вызвал шок.

Кавальери и РобервальЖиль Робервальфранцузский математик и механик · 1602–1675Сорок лет держал кафедру, которую каждые три года разыгрывали на конкурсе задач, — и потому прятал свои методы. Заплатил за это тем, что почти все его результаты напечатал кто-то другой раньше. приняли и проверили. ФермаПьер Фермафранцузский юрист и математик · 1607–1665Советник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей. заинтересовался и получил похожие результаты для других кривых.

Томас Гоббс пришёл в ярость. Его позиция была философской: тело конечного объёма не может иметь бесконечную протяжённость, это противоречит здравому смыслу, а значит, где-то в рассуждении обман. Гоббс вообще воевал с новой математикой (его многолетняя полемика с ВаллисомДжон Валлисанглийский математик и криптограф · 1616–1703Ввёл знак ∞, вычислил π бесконечным произведением и дал Ньютону приём, из которого тот сделал бином и ряды. — отдельный сюжет: Гоббс объявлял, что решил задачу о квадратуре круга, Валлис публично разбирал его ошибки).

Богословы тоже заволновались: тело представлялось наглядным примером «актуально бесконечного», а актуальная бесконечность традиционно приписывалась только Богу.

Значение для линии

Это первый со времён Зенона результат, прямо показавший, что интуиция о бесконечном ненадёжна. И, в отличие от парадоксов ЗенонаЗенон Элейскийгреческий философ · около 490–430 до н. э.Придумал апории, из-за которых математика две тысячи лет опасалась бесконечности, — и которые оказались первым в истории вопросом о сходимости бесконечного ряда., он не разрешается указанием на сходимость ряда: тут всё сходится и всё расходится одновременно, просто разные величины.

Общий урок, который стоит сформулировать: у одного и того же объекта одна характеристика может быть конечной, а другая бесконечной, и никакого противоречия в этом нет. Дальше по линии это повторится многократно:

• множество Кантора: несчётно много точек, мера нуль;
• функция Вейерштрасса: непрерывна, но длина её графика на любом отрезке бесконечна;
• кривая ПеаноДжузеппе Пеаноитальянский математик и логик · 1858–1932Аксиоматизировал натуральный ряд, векторное пространство и математическую запись — и построил кривую, которая проходит через каждую точку квадрата. (см. ниже): длина бесконечна, а образ имеет положительную площадь;
• фрактальная береговая линия: конечная площадь, бесконечный периметр.

Труба Гавриила — самый ранний и самый простой представитель этого семейства, и потому лучший для первого знакомства: она требует только формулы объёма тела вращения.

Задача для класса. Тот же вопрос для $y=x^{-p}$ при $x\geqslant1$. При каких $p$ объём конечен? При каких конечна поверхность? (Ответ: объём конечен при $p>1/2$, поверхность — при $p>1$. Значит, «парадокс маляра» имеет место ровно при $1/2<p\leqslant1$.)