Карта → событие
Валлис: интерполяция, бесконечность и дорога к Ньютону
Человек
Джон Валлис (1616–1703) — савилианский профессор геометрии в Оксфорде с 1649 года и до смерти, один из основателей Королевского общества. Математиком он стал поздно: учился богословию, был капелланом, а прославился в гражданскую войну как криптоаналитик парламента — вскрывал роялистскую переписку. (Позже, после Реставрации, работал уже на короля; Карл II кафедру за ним оставил.)
Он же — автор первой английской грамматики, написанной не по латинскому шаблону, и учитель речи для глухих.
Книга
«Arithmetica infinitorum» (Оксфорд, 1656) — «Арифметика бесконечных».
Название программное. КавальериБонавентура КавальериПредложил считать площадь суммой отрезков, а объём — суммой сечений, и получил результаты, до которых греки шли столетиями, — не сумев объяснить, почему это законно. и Торричелли считали геометрически, складывая «неделимые». Валлис заявляет: то же самое можно делать арифметически, работая с числовыми последовательностями и отношениями. Это переход от геометрии к анализу в современном смысле, и Ньютон читал именно эту книгу.
Здесь же впервые появляется знак $\infty$ (собственно, Валлис ввёл его годом раньше, в «De sectionibus conicis», 1655).
Метод: отношения сумм степеней
Валлис хочет найти площадь под $y=x^{n}$ на $[0,1]$. Он рассматривает отношение
$$R_{n}(m) = \frac{0^{n}+1^{n}+2^{n}+\cdots+m^{n}}{m^{n}+m^{n}+\cdots+m^{n}} = \frac{\sum_{k=0}^{m}k^{n}}{(m+1)\,m^{n}}$$
— отношение суммы ординат под кривой к сумме ординат под верхней границей прямоугольника.
Считает для малых $m$ и находит закономерность:
| $n$ | Значение $R_n(m)$ при $m\to\infty$ |
|---|---|
| 0 | $1$ |
| 1 | $1/2$ |
| 2 | $1/3$ |
| 3 | $1/4$ |
| $n$ | $\dfrac{1}{n+1}$ |
Отсюда $\displaystyle\int_0^1 x^{n}dx = \frac{1}{n+1}$ — результат, известный Ферма, но полученный чисто арифметически, без геометрических построений.
Метод Валлиса — индукция по неполной таблице. Он вычисляет несколько случаев, усматривает закон и объявляет его верным. Строгости никакой; ФермаПьер ФермаСоветник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей. прямо упрекал его в этом. Но метод оказался фантастически плодотворным, потому что позволял делать то, чего геометрия не умела: интерполировать между случаями.
Дробные и отрицательные показатели
Раз формула $\frac{1}{n+1}$ верна для целых $n$, почему бы не подставить дробное? Валлис так и делает и получает
$$\int_{0}^{1}x^{1/2}dx = \frac{1}{3/2} = \frac23, \qquad \int_{0}^{1}x^{3/2}dx = \frac25,$$
то есть правильные ответы для функций, которых предыдущий метод не охватывал. Он же вводит обозначения $x^{1/2}$, $x^{-1}$, $x^{-2}$ — привычные нам дробные и отрицательные степени.
Произведение Валлиса
Главная цель — квадратура круга: найти $\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx = \frac{\pi}{4}$.
Валлис рассматривает семейство
$$I(p) = \int_{0}^{1}\left(1-x^{1/p}\right)^{q}dx$$
и строит таблицу значений для целых $p,q$ — там получаются обратные биномиальные коэффициенты:
$$\int_{0}^{1}\left(1-x\right)^{q}dx = \frac{1}{q+1}, \qquad \text{и в общем случае } \ \frac{1}{C_{p+q}^{\,q}}\cdot\frac{1}{\ldots}$$
Нужное ему значение соответствует $p=q=1/2$ — между узлами таблицы. Валлис интерполирует, применяя усмотренные закономерности к полуцелым индексам, и после виртуозных манипуляций получает:
$$\boxed{\;\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdots = \prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^{2}}{4n^{2}-1}\;}$$
Проверка сходимости. Частичные произведения: 2; 1,333; 1,777; 1,422; 1,706; 1,462; ... Сходимость медленная (около $1/n$), для трёх знаков нужны тысячи множителей. Практической ценности формула не имеет — историческую имеет огромную.
Это первое в истории выражение $\pi$ бесконечным произведением рациональных чисел, без всяких корней (сравните с формулой ВиетаФрансуа ВиетПервым стал обозначать буквами не только неизвестное, но и известные величины, — и с этого алгебра перестала быть собранием рецептов. 1593 года, где вложенные радикалы). Полученное вдобавок методом, не имевшим никакого обоснования.
Строго произведение Валлиса выводится сегодня из рекуррентности для $\int_0^{\pi/2}\sin^{n}x\,dx$ (интегралы Валлиса) — упражнение вполне студенческого уровня.
Почему это точка первой очереди
Потому что отсюда напрямую вырастает Ньютон.
Двадцатидвухлетний Ньютон зимой 1664/65 года читает «Arithmetica infinitorum». Его восхищает метод интерполяции — и он решает применить его не к площадям, а к самим коэффициентам разложения.
Валлис интерполировал таблицу интегралов. Ньютон интерполирует таблицу $C_{n}^{k}$ — треугольник ПаскаляБлез ПаскальСобрал в шестнадцать лет теорему о шестиугольнике, в девятнадцать — счётную машину, в тридцать один — теорию вероятностей, а потом бросил математику ради Бога. — на полуцелые $n$, обнаруживает, что ряд не обрывается, и получает биномиальный ряд:
$$(1+x)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty}C_{\alpha}^{k}x^{k}, \qquad C_{\alpha}^{k}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}.$$
Это точка о Ньютоне, и без Валлиса она повисает в воздухе: непонятно, откуда взялась сама идея «продолжить таблицу за пределы целых». Ньютон это признавал прямо и в «Epistola posterior» (1676) подробно описал, как шёл по следам Валлиса.
Прочее
- «Tractatus de sectionibus conicis» (1655): конические сечения впервые рассматриваются как кривые второго порядка в координатах, а не как сечения конуса. Плюс знак $\infty$.
- «Mechanica» (1670–71): систематическая механика до Ньютона.
- «Treatise of Algebra» (1685): первая история алгебры, с ранним обсуждением геометрической интерпретации комплексных чисел.
- Спрямление полукубической параболы, работы над числовыми рядами и непрерывными дробями.
- Валлис был активным участником спора о приоритете на английской стороне и защищал Ньютона задолго до основного конфликта.