Барроу: касательные и площади взаимно обратны

Расстановка сил к 1664 году

К этому моменту европейская математика умеет две вещи, и умеет хорошо.

Задача о касательных (дифференцирование): ФермаПьер Фермафранцузский юрист и математик · 1607–1665Советник тулузского парламента, не напечатавший при жизни ни одной математической книги — и успевший заложить теорию чисел, аналитическую геометрию, метод касательных и теорию вероятностей., ДекартРене Декартфранцузский философ, математик и физик · 1596–1650Соединил кривую с уравнением — и геометрия впервые за две тысячи лет перестала зависеть от того, можно ли фигуру начертить. Заодно придумал обозначения, которыми мы пишем до сих пор., РобервальЖиль Робервальфранцузский математик и механик · 1602–1675Сорок лет держал кафедру, которую каждые три года разыгрывали на конкурсе задач, — и потому прятал свои методы. Заплатил за это тем, что почти все его результаты напечатал кто-то другой раньше., Гудде, Слюз. Есть методы, работающие для широких классов кривых.

Задача о квадратурах (интегрирование): КавальериБонавентура Кавальериитальянский монах-иезуат и математик · 1598–1647Предложил считать площадь суммой отрезков, а объём — суммой сечений, и получил результаты, до которых греки шли столетиями, — не сумев объяснить, почему это законно., Ферма, Торричелли, ВаллисДжон Валлисанглийский математик и криптограф · 1616–1703Ввёл знак ∞, вычислил π бесконечным произведением и дал Ньютону приём, из которого тот сделал бином и ряды., Сен-Венсан. Тоже есть методы.

Чего нет — понимания, что это одна задача, решаемая в две стороны. Отдельные наблюдения проскакивали: Торричелли заметил связь для конкретных кривых, Григорий де Сен-Венсан — тоже. Но общего утверждения не было.

Барроу

Исаак Барроу (1630–1677) — филолог-классик, богослов, переводчик ЕвклидаЕвклидгреческий математик · около 300 года до н. э.Автор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего. и АрхимедаАрхимедгреческий математик, механик и инженер · около 287–212 до н. э.Считал площади и объёмы за девятнадцать веков до интегрального исчисления и оставил письмо, в котором честно рассказал, как он на самом деле догадывался до ответов., первый лукасовский профессор математики Кембриджа (с 1663 года). Читал лекции по геометрии в 1664–1666 годах; изданы они в Лондоне в 1670-м как «Lectiones Geometricae».

В 1669 году Барроу уступил лукасовскую кафедру своему ученику НьютонуИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику. и ушёл в богословие — поступок, которому в истории науки трудно подобрать аналог.

Что именно там сказано

«Lectiones Geometricae», лекция X, предложение 11 (в вольном пересказе):

Пусть дана кривая $y = f(x)$, возрастающая и положительная, и пусть построена кривая $z = A(x)$, ординаты которой равны площади под первой кривой от начала до $x$. Возьмём на оси точку $T$ так, что $\dfrac{A(x)}{f(x)} = TP$, где $TP$ — подкасательная к кривой $A$. Тогда прямая через $T$ и точку $(x, A(x))$ касается кривой $A$.

Расшифруем. Подкасательная к кривой $z = A(x)$ в точке $x$ равна $\dfrac{A(x)}{A'(x)}$. Барроу утверждает, что она равна $\dfrac{A(x)}{f(x)}$. Приравнивая:

$$A'(x) = f(x), \qquad\text{где}\quad A(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt.$$

Это первая часть основной теоремы анализа. В предложении 19 той же лекции содержится обратное утверждение — по существу вторая часть, формула Ньютона — ЛейбницаГотфрид Вильгельм Лейбницнемецкий философ, математик и дипломат · 1646–1716Придумал знаки $d$ и $\int$, которыми мы пишем анализ до сих пор, — и всю жизнь искал язык, на котором спор можно было бы заканчивать словами «посчитаем».:

$$\int_{a}^{b} f'(x)\,dx = f(b) - f(a).$$

Почему это правда: идея доказательства

Приращение площади при переходе от $x$ к $x+h$ — это площадь узкой полоски:

$$A(x+h) - A(x) = \int_{x}^{x+h} f(t)\,dt.$$

Если $f$ непрерывна, на отрезке $[x, x+h]$ она принимает наименьшее $m_h$ и наибольшее $M_h$ значения, и полоска зажата между двумя прямоугольниками:

$$m_h \cdot h \;\leqslant\; A(x+h)-A(x) \;\leqslant\; M_h \cdot h.$$

Делим на $h$:

$$m_h \leqslant \frac{A(x+h)-A(x)}{h} \leqslant M_h.$$

При $h\to0$ обе границы стремятся к $f(x)$ по непрерывности. Значит, и средняя часть стремится к $f(x)$, то есть $A'(x)=f(x)$. $\blacksquare$

Обратите внимание, чего требует это доказательство: непрерывности (чтобы были минимум и максимум и чтобы они сходились к $f(x)$) и понятия предела. Ни того ни другого в 1664 году нет — Барроу рассуждает геометрически, о конкретных «хорошо ведущих себя» кривых, и слова «функция» не произносит.

Дифференциальный треугольник

Второй важный вклад Барроу — систематическое использование «$a$-треугольника»: маленького треугольника с катетами $a$ (приращение абсциссы) и $e$ (приращение ординаты) и гипотенузой вдоль кривой. Отношение $e/a$ — наклон. Тот же треугольник у ПаскаляБлез Паскальфранцузский математик, физик и религиозный философ · 1623–1662Собрал в шестнадцать лет теорему о шестиугольнике, в девятнадцать — счётную машину, в тридцать один — теорию вероятностей, а потом бросил математику ради Бога. назывался характеристическим, и именно его Лейбниц опознает как ключ ко всему.

Честная оговорка

Историки спорят, насколько Барроу сам понимал общность своего результата. Аргументы за скепсис:

• утверждение сформулировано геометрически, для кривых, а не для функций;
• Барроу нигде не использует его как вычислительный инструмент — то есть не говорит «раз так, площадь можно найти, подобрав первообразную»;
• в его собственных квадратурах он им не пользуется.

Джеймс Грегори в «Geometriae Pars Universalis» (Падуя, 1668) имел близкий результат независимо и, возможно, понимал его лучше.

Так что «Барроу открыл основную теорему анализа» — упрощение. Точнее: у Барроу мост построен, но никто по нему ещё не ходит. Пойдёт его студент, уехавший от чумы в деревню.

Следующая точка: Вулсторп, 1665 — Кембридж закрыт, и двадцатитрёхлетний Ньютон остаётся один со своими бумагами.