Парадоксы Зенона: Ахиллес и черепаха

Место и человек

Элея — греческая колония на западном побережье Италии (ныне Велия, к югу от Салерно). Зенон Элейский (ок. 490 — ок. 430 до н. э.) — ученик Парменида, чью доктрину о неизменности и неделимости бытия он защищал не прямыми доводами, а доведением до абсурда позиции противника. Диоген Лаэртский приписывает ему сорок аргументов; до нас дошли четыре, и все — через пересказ АристотеляАристотельгреческий философ · 384–322 до н. э.Не был математиком, но задал математике две вещи, которыми она пользуется до сих пор: определение науки как вывода из недоказуемых начал и открытие, что правильность рассуждения зависит только от его формы. в «Физике», то есть в изложении оппонента.

Датировка условна: она восходит к платоновскому «Пармениду», где описан визит Зенона и Парменида в Афины около 450 года.

Ахиллес и черепаха: считаем

Ахиллес бежит в десять раз быстрее черепахи и даёт ей фору $d$. Пока он пробегает $d$, черепаха уползает на $d/10$. Пока он пробегает $d/10$, она уползает на $d/100$. И так далее — бесконечно много раз. Значит, говорит Зенон, он её не догонит.

Считаем время. Пусть скорость Ахиллеса $v$. Тогда

$$t = \frac{d}{v} + \frac{d/10}{v} + \frac{d/100}{v} + \cdots = \frac{d}{v}\left(1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \cdots\right) = \frac{d}{v} \cdot \frac{1}{1 - 1/10} = \frac{10d}{9v}.$$

Проверим независимым способом. Скорость сближения равна $v - v/10 = 9v/10$, разрыв $d$, значит время до встречи

$$t = \frac{d}{9v/10} = \frac{10d}{9v}. \quad \checkmark$$

Совпало. Бесконечное число шагов уложилось в конечное время — потому что шаги становятся всё короче достаточно быстро.

Общая формула, которой не было у греков:

$$\sum_{n=0}^{\infty} aq^{n} = \frac{a}{1-q}, \qquad |q| < 1.$$

Дихотомия: та же идея, зеркально

Чтобы пройти отрезок, надо сначала пройти его половину, до того — четверть, до того — восьмую… Движение не может даже начаться.

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1.$$

Стрела: здесь ряды не помогают

В каждый отдельный момент летящая стрела занимает участок пространства, равный себе, — то есть покоится. Сумма покоев есть покой. Значит, движения нет.

Вот этот парадокс геометрической прогрессией не снимается. Ответ на него — понятие производной:

$$v(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}.$$

Мгновенная скорость — не свойство одного момента, а свойство поведения функции в окрестности момента. Стрела в момент $t_0$ действительно не «движется» — движение есть отношение между близкими моментами. Чтобы это сказать, нужен весь аппарат предела: то есть двадцать три века.

Честно: снят ли парадокс?

Популярное «Зенон просто не умел суммировать ряды» — упрощение, и школьникам его лучше не скармливать. Зенон, скорее всего, прекрасно понимал, что Ахиллес обгонит черепаху; он спрашивал о другом: можно ли осмысленно говорить о завершении бесконечной последовательности действий?

Философы называют такие задачи суперзадачами (supertasks), и спор о них жив. Классический пример — лампа Томсона (1954): лампу включают через $1/2$ минуты, выключают через $1/4$, включают через $1/8$… Ряд $\sum 2^{-n}$ сходится, к концу минуты произведено бесконечно много переключений. Горит ли лампа в конце минуты? Ни одна математическая теорема этого не определяет. Сходимость ряда даёт сумму, но не даёт «состояние после бесконечности шагов».

Аристотель ответил Зенону иначе — различением потенциальной и актуальной бесконечности. Отрезок потенциально делим сколь угодно далеко, но не состоит актуально из бесконечного числа частей. Этот запрет на актуальную бесконечность греки соблюдали строго: ЕвдоксЕвдокс Книдскийгреческий математик и астроном · около 408–355 до н. э.Придумал, как сравнивать несоизмеримые величины, и метод, которым две тысячи лет считали площади, — обе идеи вернулись в XIX веке почти без изменений. и АрхимедАрхимедгреческий математик, механик и инженер · около 287–212 до н. э.Считал площади и объёмы за девятнадцать веков до интегрального исчисления и оставил письмо, в котором честно рассказал, как он на самом деле догадывался до ответов. строят свои доказательства так, чтобы бесконечность нигде не была завершена. Снимут запрет только Кантор и — с другой стороны — Робинсон, который построит числа, меньшие любого $1/n$, но не равные нулю.

Круг линии замыкается: она начинается невозможностью бесконечно малых и заканчивается их законным возвращением.

Следующая точка: Афины, ок. 370 до н. э. — Евдокс строит технику, позволяющую работать с пределами, ни разу не произнеся слова «бесконечность».