Евдокс Книдский

Ни одного сочинения Евдокса не сохранилось. Мы знаем его по «Началам» Евклида: пятая и двенадцатая книги — почти целиком его.

Книд, Афины, Египет

Родился в Книде в Малой Азии, учился у пифагорейца Архита в Таренте, потом в Афинах у Платона — по преданию, будучи так беден, что жил в Пирее и каждый день ходил в Академию пешком. Провёл больше года в Египте, изучая астрономию у жрецов Гелиополя. Вернувшись, основал школу в Кизике, а под конец жизни — в родном Книде, где построил обсерваторию.

Теория отношений

Кризис, из которого он вышел, — открытие несоизмеримости. Пифагорейцы считали, что любые две величины относятся как целые числа; диагональ квадрата к стороне так не относится. Вся теория пропорций рушилась вместе с доказательствами, на неё опиравшимися.

Евдокс дал определение, работающее без чисел вообще. Говорим, что $a : b = c : d$, если для любых натуральных $m, n$ выполняется одно и то же:

$$ma > nb \iff mc > nd.$$

То есть отношение задаётся тем, как оно разделяет все рациональные дроби на большие и меньшие. Это буквально дедекиндово сечение — и Дедекинд в 1872 году сам на это указал, отметив, что его определение действительного числа совпадает с определением отношения из пятой книги «Начал».

Две тысячи двести лет между постановкой и следующим шагом.

Метод исчерпывания

Второй его инструмент — способ доказывать утверждения о площадях и объёмах. Идея: вписывать в фигуру многоугольники, каждый раз отсекая больше половины остатка. Тогда остаток можно сделать меньше любой заданной величины (аксиома Архимеда — Евдокса), и дальше двойное доказательство от противного: площадь не больше и не меньше искомой.

Этим методом доказаны: объём конуса равен трети объёма цилиндра, объёмы шаров относятся как кубы диаметров, площади кругов — как квадраты диаметров. Ни одного предельного перехода: греки предела не имели и обходились без него.

Архимед довёл технику до предела возможного и прямо назвал Евдокса её автором. Дальше метод исчерпывания дожил до Кавальери и Валлиса, которые заменили его на менее строгие, зато более быстрые «неделимые», — и строгость вернулась только с Коши.

Астрономия

Модель гомоцентрических сфер — двадцать семь вложенных сфер, вращающихся вокруг разных осей, чтобы объяснить попятное движение планет. Первая в истории попытка описать наблюдаемое движение геометрически, а не мифологически. Аристотель принял её и довёл число сфер до пятидесяти пяти.