Папирус Ахмеса: геометрия рецептов

Что это за документ

Свиток, купленный в Луксоре в 1858 году шотландским антикваром Александром Райндом и потому известный как папирус Райнда; сам он называет своего переписчика — писца Ахмеса. Длина около 5 метров, 84 задачи с решениями (в некоторых нумерациях 87). Первая строка обещает читателю «точное вычисление для проникновения в вещи и знание всего сущего, всех тайн».

С датировкой стоит быть аккуратным. Ахмес пишет, что копирует более старый текст времён Аменемхета III — то есть примерно 1850 год до н. э. Сама копия датирована 33-м годом правления гиксосского царя Апопи; в переводе на абсолютную шкалу это около 1550 года до н. э., а в старой литературе (и в подписи к этой точке) обычно стоит 1650-й — расхождение возникает из-за разных хронологий Второго переходного периода, а не из-за спора о самом папирусе.

Второй важнейший египетский текст — Московский математический папирус (ок. 1850 г. до н. э., 25 задач, хранится в ГМИИ им. Пушкина). Их часто путают; ниже видно, что именно в каком из них.

Круг: правило и его точность

Задача 50 папируса Райнда: круглое поле диаметром 9 хет. Рецепт писца: отними от диаметра его девятую часть и возведи остаток в квадрат. Остаток — 8, квадрат — 64.

В современной записи правило звучит так:

$$S \approx \left(\frac{8d}{9}\right)^{2}.$$

Сравним с истинным $S=\pi d^{2}/4$. Правило верно в точности тогда, когда

$$\frac{\pi}{4}=\left(\frac{8}{9}\right)^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad \pi=4\cdot\frac{64}{81}=\frac{256}{81}=3{,}160493\ldots$$

Ошибка — $0{,}0189$, то есть 0,6 % с избытком. Для практики (обмер полей, объём зернохранилища) этого более чем достаточно.

Тонкость, из-за которой стоит быть осторожным с фразой «египтяне знали π»: в папирусе нет ни числа $\pi$, ни отношения длины окружности к диаметру, ни даже мысли, что для всех кругов это отношение одно и то же. Есть только правило перехода от диаметра к площади. Значение $256/81$ — наша реконструкция, а не их знание.

Пирамида: первая тригонометрия

Задачи 56–60 вводят величину сехед — «сколько ладоней в сторону на один локоть вверх». Локоть содержит 7 ладоней, поэтому сехед есть попросту

$$\text{сехед}=7\cdot\frac{\text{половина основания}}{\text{высота}}=7\,\ctg\alpha,$$

где $\alpha$ — угол наклона боковой грани. Это котангенс в единицах ладоней — за две с половиной тысячи лет до греческих таблиц хорд.

В задаче 56 сторона основания 360 локтей, высота 250; писец делит $180/250$ и умножает на 7, получая $5\tfrac{1}{25}$ ладони. Для великой пирамиды в Гизе сехед равен 5½, что даёт $\tg\alpha = 14/11$ и $\alpha\approx 51^\circ 51'$ — совпадение с реальным наклоном превосходное.

Усечённая пирамида: формула, которой неоткуда взяться

Самое поразительное египетское достижение — в Московском папирусе, задача 14 (в папирусе Ахмеса её нет). Усечённая пирамида с квадратными основаниями $a=4$, $b=2$ и высотой $h=6$. Писец складывает $16+8+4=28$, умножает на треть высоты и получает 56. То есть используется формула

$$V=\frac{h}{3}\left(a^{2}+ab+b^{2}\right),$$

и она абсолютно точна. Проверить это несложно: достроим усечённую пирамиду до полной. Если полная имеет высоту $H$ при основании $a$, то из подобия $\dfrac{H-h}{H}=\dfrac{b}{a}$, откуда $H=\dfrac{ah}{a-b}$, и

$$V=\frac{a^{2}H}{3}-\frac{b^{2}(H-h)}{3}=\frac{h}{3}\cdot\frac{a^{3}-b^{3}}{a-b}=\frac{h}{3}\left(a^{2}+ab+b^{2}\right).$$

Никаких следов такого рассуждения в папирусе нет. Как египтяне пришли к формуле — открытый вопрос; предлагались разрезания на призмы и пирамиды, предельные соображения, обобщение частных случаев. Отдельная ирония: греки в эпоху ЕвклидаЕвклидгреческий математик · около 300 года до н. э.Автор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего. докажут формулу объёма пирамиды только через метод исчерпывания (см. Евдокс в Афинах), и ГильбертДавид Гильбертнемецкий математик · 1862–1943Человек, сделавший Гёттинген столицей математики и задавший ей повестку на весь XX век — двадцатью тремя проблемами и одной программой, которую сам же и не смог спасти. в 1900 году сделает вопрос «нельзя ли обойтись без предельного перехода?» своей третьей проблемой — ответ, полученный ДеномМакс Деннемецкий математик · 1878–1952Первым решил задачу из списка Гильберта — и решил отрицательно; поставил три вопроса о группах, из которых выросла комбинаторная теория групп; кончил жизнь преподавателем в колледже для художников. в том же году, будет отрицательным.

Почему это ещё не геометрия

Разница между египетским текстом и греческим — не в точности, а в жанре. Сравним:

В том же папирусе, наряду с точной формулой усечённой пирамиды, спокойно соседствуют приближённые правила — и ничто в тексте не отличает точное от приближённого. Отличить их можно, только имея понятие доказательства. Именно оно, а не набор формул, появится в Милете — и с него начнётся математика в нашем смысле слова.

Задача. Египетское правило площади круга эквивалентно замене круга квадратом со стороной $8d/9$. Проверьте, что квадрат со стороной, равной $\tfrac{8}{9}$ диаметра, имеет ту же площадь, что вписанный в круг правильный восьмиугольник с точностью до 0,3 %. (Это одна из гипотез о происхождении правила: круг диаметра 9 приближают восьмиугольником, вписанным в квадрат $9\times9$ со срезанными углами, площадь которого равна 63 — почти $64=8^2$.)

Следующая точка: Милет — где впервые спросят не «сколько получится», а «почему обязательно так».