Макс Ден

Ден — ученик Гильберта, который первым закрыл одну из его проблем, и сделал это в год оглашения списка.

Третья проблема

Многоугольники равной площади всегда равносоставлены: один можно разрезать на конечное число кусков и сложить из них другой. В «Основаниях геометрии» Гильберт спросил, верно ли то же в пространстве, и поставил вопрос третьим в своём списке 1900 года.

Ден ответил в том же 1900-м: нет. Правильный тетраэдр и куб равного объёма не равносоставлены.

Приём — инвариант. Всякому многограннику сопоставляется величина, построенная из длин рёбер и двугранных углов и не меняющаяся при разрезании и складывании. У куба она нулевая, у правильного тетраэдра — нет. Значит, разрезать один в другой нельзя. Попутно выяснилось, почему в стереометрии без предельного перехода не обойтись: объём пирамиды нельзя получить конечным разрезанием, метод исчерпывания там не роскошь, а необходимость.

Три вопроса

Второй его сюжет — группы. Группа может быть задана образующими и соотношениями: конечный список букв и конечный список равенств между словами. Ден в 1911 году спросил, какие вопросы о такой группе разрешимы алгоритмически, и назвал три:

• проблема тождества слов — равны ли два слова в группе;
• проблема сопряжённости — сопряжены ли два элемента;
• проблема изоморфизма — изоморфны ли две группы, заданные разными представлениями.

Для групп поверхностей он решил первую сам, предложив алгоритм Дена: если слово равно единице, то в нём есть длинный кусок соотношения, который можно укоротить. В общем же случае ответ оказался отрицательным — П. С. Новиков доказал в 1955 году, что алгоритма нет.

Из ответа Дена выросла целая наука. Условие, при котором его алгоритм работает, — это «малые сокращения»; из него потом получились гиперболические группы Громова, для которых алгоритм Дена работает по-прежнему, и вся геометрическая теория групп.

Ему же принадлежат лемма о диске (важнейшее утверждение теории узлов, сформулированное в 1910 году с пробелом в доказательстве, закрытым только Папакирьякопулосом в 1957-м), хирургия Дена — способ строить трёхмерные многообразия, — и скручивания Дена, образующие группу классов отображений поверхности.

Ещё до всего этого, в 1907 году, они с Поулем Хеегором написали для «Энциклопедии математических наук» первый обзор топологии — статью, которой предмет во многом обязан своим оформлением.

Бегство

В 1935 году Дена, еврея, отправили в отставку. Он оставался во Франкфурте до 1938-го; после ноябрьского погрома был арестован, через сутки отпущен и бежал — в Данию, потом в Норвегию. В 1940-м, когда немцы вошли и туда, он с женой уехал через Сибирь: поездом до Владивостока, пароходом в Японию, оттуда в Сан-Франциско. Ему было шестьдесят два года.

В Америке места не нашлось. После нескольких временных должностей он оказался в Блэк-Маунтин-колледже в Северной Каролине — маленькой экспериментальной школе искусств, где преподавали Джон Кейдж, Мерс Каннингем и Виллем де Кунинг. Ден вёл там математику, философию и греческий, ходил в горы со студентами и собирал грибы.

Умер там же в 1952 году. Он был единственным математиком колледжа.